完全微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式は完全微分方程式であることを確かめて，これを解け

$3$\displaystyle{ $ y{e}^{x}- {y}^{2}\sin x $ dx }$ $3$\displaystyle{ + $ {e}^{x}+2y\cos x $ dy }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

■答

$3$\displaystyle{ y{e}^{x}+{y}^{2}\cos x=c }$

■ヒント

完全微分方程式の解法

完全微分方程式 $3$\displaystyle{Pdx+Qdy=0}$ の一般解は

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{a}^{x} P $ x,y $ dx+ }\displaystyle{ \int _{b}^{y} Q $ a,y $ dy }=c}$ ･･････(1)

ここで $3$\displaystyle{a}$ と $3$\displaystyle{b}$ は定数であり， $3$\displaystyle{c}$ は任意定数である．

■解き方

$3$\displaystyle{ P=y{e}^{x}- {y}^{2}\sin x }$ , $3$\displaystyle{ Q={e}^{x}+2y\cos x }$ とすると

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{P}_{y}={e}^{x}- 2y\sin x }$ , $3$\displaystyle{ \hspace{1}{Q}_{x}={e}^{x}- 2y\sin x }$ $3$\displaystyle{{}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet \hspace{1}{P}_{y}=\hspace{1}{Q}_{x}}$

よってこの微分方程式は完全微分方程式である．

(1)の公式を利用する． $3$\displaystyle{ a=0 }$ , $3$\displaystyle{ b=0 }$ として

$3$\displaystyle{ {\displaystyle{\int }}\limits_{0}^{x} $ y{e}^{x}- {y}^{2}\sin x $ dx }$ $3$\displaystyle{ +{\displaystyle{\int }}\limits_{0}^{y} $ {e}^{0}+2y\cos 0 $ dy }$ $3$\displaystyle{ =c }$

$3$\displaystyle{ \[ y{e}^{x}+{y}^{2}\cos x \] _{0}^{x}+ \[ y+{y}^{2} \] _{0}^{y}=c}$

$3$\displaystyle{ y{e}^{x}+{y}^{2}\cos x- $ y+{y}^{2} $ +y+{y}^{2}- 0 }$ $3$\displaystyle{ =c }$

$3$\displaystyle{ y{e}^{x}+{y}^{2}\cos x=c }$

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最終更新日： 2023年6月15日