完全微分方程式に関する問題

■問題

次の完全微分方程式を（　）内の初期条件のもとで解け

$3$\displaystyle{ $ 3{x}^{2}y+x $ dx+ $ {x}^{3}+2y $ dy=0}$

( $3$\displaystyle{ x=1 }$ , $3$\displaystyle{ y=0 }$ )

■答

$3$\displaystyle{2{x}^{3}y+{x}^{2}+2{y}^{2}- 1=0}$

■ヒント

完全微分方程式の特殊解

完全微分方程式 $3$\displaystyle{Pdx+Qdy=0}$ の解で初期条件 $3$\displaystyle{ x=a }$ , $3$\displaystyle{ y=b }$ を満たすものは

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{a}^{x} P $ x,y $ dx+ }\displaystyle{ \int _{b}^{y} Q $ a,y $ dy }=0}$ ･･････(1)

■解き方

初期条件より $3$\displaystyle{a=1,b=0}$ として，公式(1)を利用すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{1}^{x} $ 3{x}^{2}y+x $ dx }+\displaystyle{ \int _{0}^{y} $ 1+2y $ dy }=0}$

$3$\displaystyle{ \[ {x}^{3}y+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2} \] _{1}^{x}+ \[ y+{y}^{2} \] _{0}^{y}=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{3}y+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- $ y+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ +y+{y}^{2}=0}$

$3$\displaystyle{{x}^{3}y+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{x}^{2}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+{y}^{2}=0}$

両辺に2をかけると

$3$\displaystyle{2{x}^{3}y+{x}^{2}+2{y}^{2}- 1=0}$

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最終更新日： 2023年6月16日