完全微分方程式に関する問題

■問題

次の完全微分方程式を（　）内の初期条件のもとで解け

$3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}+2x $ dx+ $ - 2y- \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}} $ dy=0}$

( $3$\displaystyle{ x=2 }$ , $3$\displaystyle{ y=2 }$ )

■答

$3$\displaystyle{{y}^{3}+ $ 1- x $ xy- 3x+2=0}$

■ヒント

完全微分方程式の特殊解

完全微分方程式 $3$\displaystyle{Pdx+Qdy=0}$ の解で初期条件 $3$\displaystyle{ x=a }$ , $3$\displaystyle{ y=b }$ を満たすものは

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int _{a}^{x} P $ x,y $ dx+ }\displaystyle{ \int _{b}^{y} Q $ a,y $ dy }=0}$ ･･････(1)

■解き方

初期条件より $3$\displaystyle{ a=2 }$ , $3$\displaystyle{ b=2 }$ として，公式(1)を利用すると

$3$\displaystyle{ {\displaystyle{\int }}\limits_{2}^{x} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}+2x $ dx }$ $3$\displaystyle{ +{\displaystyle{\int }}\limits_{2}^{y} $ - 2y- \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}} $ dy }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

$3$\displaystyle{ \[ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}+{x}^{2} \] _{2}^{x}+ \[ - {y}^{2}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}} \] _{2}^{y}=0}$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}+{x}^{2}- $ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}+4 $ - {y}^{2}+\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ - $ - 4+1 $ }$ $3$\displaystyle{ =0 }$

$3$\displaystyle{{x}^{2}- {y}^{2}+\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}- 1=0}$

両辺に $3$\displaystyle{ - y }$ をかけて，式を整理すると

$3$\displaystyle{{y}^{3}+\left({ 1- {x}^{2} }\right)y- x=0}$

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>完全微分方程式に関する問題 >> $3$\displaystyle{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}y\hspace{2}}+2x $ dx+ $ - 2y- \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{2} \hspace{2}} $ dy=0}$ ( $3$\displaystyle{x=2,y=2}$ )

最終更新日： 2023年6月16日