変数分離形微分方程式に関する問題

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int $ { \tan }^{ - 1 }y $ dy }}$

この式に1が掛けられていると考えて部分積分をする

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int 1\cdot } $ { \tan }^{ - 1 }y $ dy}$ $3$\displaystyle{={\displaystyle{ \int $y$ }}^{\prime } $ { \tan }^{ - 1 }y $ dy}$

$3$\displaystyle{=y $ { \tan }^{ - 1 }y $ - \displaystyle{ \int y\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{2}+1 \hspace{2}}dy }}$

次に

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int y\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{2}+1 \hspace{2}}dy }}$

を考える．

$3$\displaystyle{{y}^{2}+1=t}$ とおいて置換積分をすると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}=2y}$

$3$\displaystyle{ydy=\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となるので

$3$\displaystyle{\int y\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{2}+1 \hspace{2}}dy=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}dt=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \left|{t}\right|}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \left|{ {y}^{2}+1 }\right|}$

よって

$3$\displaystyle{ \int \left({ { \tan }^{ - 1 }y }\right)dy }$ $3$\displaystyle{ =y\left({ { \tan }^{ - 1 }y }\right)- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \left|{ {y}^{2}+1 }\right| }$

となる．

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最終更新日： 2023年6月18日