変数分離形微分方程式に関する問題

$3$\displaystyle{ \int \left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2- {x}^{2} } \hspace{2}} }\right)dx }$

この式を変形すると

$3$\displaystyle{ \int \left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2- {x}^{2} } \hspace{2}} }\right)dx }$ $3$\displaystyle{ =- \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ { \left({ \sqrt{2} }\right) }^{2}- {x}^{2} } \hspace{2}}dx }$ 　　　･･････(1)

$3$\displaystyle{x=\sqrt{2}\sin {\theta}}$ $3$\displaystyle{\left({ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\leq {\theta}\leq \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)}$ ･･････(2)とおき置換積分をする，両辺を微分すると

$3$\displaystyle{dx=\sqrt{2}\cos {\theta}d{\theta}}$

となる．

よって(1)式は

$3$\displaystyle{- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ { $ \sqrt{2} $ }^{2}- {x}^{2} } \hspace{2}}dx }}$

$3$\displaystyle{=- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} \sqrt{2}\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ { $ \sqrt{2} $ }^{2}- { $ \sqrt{2}\sin {\theta} $ }^{2} } \hspace{2}}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} \sqrt{2}\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2- 2{ \sin }^{2}{\theta} } \hspace{2}}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} \sqrt{2}\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2 $ 1- { \sin }^{2}{\theta} $ } \hspace{2}}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} \sqrt{2}\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2}\sqrt{ 1- { \sin }^{2}{\theta} } \hspace{2}}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=- \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} \sqrt{2}\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2}\cos {\theta} \hspace{2}}d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=- \displaystyle{ \int d{\theta} }}$

$3$\displaystyle{=- {\theta}}$

(2)式を $3$\displaystyle{{\theta}}$ についての式に変形すると（詳しくはこちら）

$3$\displaystyle{{\theta}={\sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$

となる．よって

$3$\displaystyle{ \int \left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 2- {x}^{2} } \hspace{2}} }\right)dx=- { \sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }$

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>変数分離形微分方程式に関する問題>> $3$\displaystyle{ $ { \tan }^{ - 1 }y $ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} \sqrt{ 2- {x}^{2} } \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}- 2 \hspace{2}}}$

最終更新日： 2022年5月4日