変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式を(　)内の初期条件で解け

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} 1+{y}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}}$ ( $3$\displaystyle{ y=\sqrt{3} }$ , $3$\displaystyle{ x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ )

■答

$3$\displaystyle{{ \tan }^{ - 1 }y={ \sin }^{ - 1 }x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

■ヒント

変数分離形方程式の解法その３のように形式的な変形をする

$3$\displaystyle{g$y$dy=f$x$dx}$

両辺を積分して

$3$\displaystyle{\int g$y$dy=\int f$x$dx +C}$

求めた微分方程式に初期条件( $3$\displaystyle{ y=\sqrt{3} }$ , $3$\displaystyle{ x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ )を代入

■解き方

両辺に $3$\displaystyle{dx}$ をかける

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{y}^{2} \hspace{2}}dy=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}dx}$

両辺を積分すると

⇒左辺の積分方法はこちら

⇒右辺の積分方法はこちら

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{y}^{2} \hspace{2}}dy }=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}dx }+C}$ （ $3$\displaystyle{C}$ は任意定数）

$3$\displaystyle{{ \tan }^{ - 1 }y={ \sin }^{ - 1 }x+C}$ 　　　　･･･(1)

この式に初期条件( $3$\displaystyle{ y=\sqrt{3} }$ , $3$\displaystyle{ x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$ )を代入すると

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}+C}$

$3$\displaystyle{C=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

よって，(1)に代入すると

$3$\displaystyle{{ \tan }^{ - 1 }y={ \sin }^{ - 1 }x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}6\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年11月20日