積分　1/(a^2-x^2)^(1/2)

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}- {x}^{2} } \hspace{2}}dx ={\sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+C}$ $3$\displaystyle{ $ a> 0 $ }$

■導出

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}- {x}^{2} } \hspace{2}} dx}$ ･･････(1)　　 $3$\displaystyle{ $ a> 0 $ }$

$3$\displaystyle{ {a}^{2}- {x}^{2}> 0 }$ より，これを因数分解すると

$3$\displaystyle{ $ a- x $ $ a+x $ > 0}$

$3$\displaystyle{ $ x- a $ $ x+a $ < 0}$

$3$\displaystyle{- a< x< a}$

となる．よって

$3$\displaystyle{x=a\sin {\theta}\text{\hspace{5}} $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ ･･････(2)

とおき，置換積分をする． $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}=a\cos {\theta}}$ より

$3$\displaystyle{dx=a\cos {\theta}d{\theta}}$ ……(3)

となる．

(1)式に(2)・(3)式をそれぞれ代入し，置換積分すると

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\int }}^{\text{}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}- {x}^{2} } \hspace{2}}dx}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{={\displaystyle{\int }}^{\text{}}\frac{\hspace{2} a\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2} $ 1- { \sin }^{2}{\theta} $ } \hspace{2}}d{\theta}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} a\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2} $ 1- { \sin }^{2}{\theta} $ } \hspace{2}}d{\theta} }$

$3$=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} a\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} a\sqrt{ 1- { \sin }^{2}{\theta} } \hspace{2}}d{\theta} }$

$3$\displaystyle{ { \sin }^{2}{\theta}+{ \cos }^{2}{\theta}=1 }$ → $3$\displaystyle{1- {\sin }^{2}{\theta}={\cos }^{2}{\theta}}$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ → $3$\displaystyle{\cos {\theta}> 0}$ → $3$\displaystyle{\sqrt{ { \cos }^{2}{\theta} }=\cos {\theta}}$

$3$=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} a\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} a\cos {\theta} \hspace{2}}d{\theta} }$

$3$=\displaystyle{ \int d{\theta} }$

$3$={\theta}$

ここで，(2)式を $3$\displaystyle{{\theta}}$ についての式に変形すると，（アークサイン参照）

$3$\displaystyle{x=a\sin {\theta}\rightarrow {\theta}={\sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}}$

となる．これを上式に代入すると

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}- {x}^{2} } \hspace{2}}dx= {\sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+C}$

となる．

微分の公式

$3$\displaystyle{{ $ { \sin }^{ - 1 }x $ }^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}}$ (参照)

を用いて求めることもできる．

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}- {x}^{2} } \hspace{2}}dx }}$ $3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}\left{{ 1- { \left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right) }^{2} }\right} } \hspace{2}}dx }}$

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} a\sqrt{ 1- { \left({ \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}} }\right) }^{2} } \hspace{2}}dx }}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=t}$ とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}}$ → $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}dx=dt}$

よって

$3$\displaystyle{=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {t}^{2} } \hspace{2}}dt }}$

$3$\displaystyle{={\sin }^{ - 1 }t+C}$

変数を $3$t$ から $3$x$ に戻す．

$3$\displaystyle{={\sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+C}$

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>基本となる関数の積分>>積分　 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {a}^{2}- {x}^{2} } \hspace{2}} }$

学生スタッフ作成
最終更新日 2025年5月20日

積分 1/(a^2-x^2)^(1/2)

■導出

積分　1/(a^2-x^2)^(1/2)