微分　arcsinx

$3$\displaystyle{{ $ { \sin }^{ - 1 }x $ }^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}}$

■導出

$3$\displaystyle{ y={ \sin }^{ - 1 }x }$ とすると， $3$\displaystyle{ x=\sin y }$ と書きかえることができる（アークサイン参照）．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}} \hspace{2}}}$ 　　( $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet }$ 逆関数の微分)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos y \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{ $ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet x=\sin y\rightarrow \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}=\cos y $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{ 1- {\sin }^{2}y }\hspace{2}}}$ 　 $3$\displaystyle{$ {}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\leq y\leq \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\rightarrow \cos y\geq 0 }$ $3$\displaystyle{ \left.{ \rightarrow \cos y=\sqrt{ 1- {\sin }^{2}y } }\right$ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ {}_\bullet\limits{ }^\bullet {}_\bullet { $ { \sin }^{ - 1 }x $ }^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}} }$

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最終更新日： 2025年7月10日