微分　arccosx

$3$\displaystyle{{ $ { \cos }^{ - 1 }x $ }^{\prime }=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}}$

■導出

$3$\displaystyle{ y={ \cos }^{ - 1 }x }$ とすると，アークコサイン（逆余弦関数）の定義より, $3$\displaystyle{ x=\cos y }$ と書きかえることができる．

さらに， $3$\displaystyle{ \cos y }$ をサイン（正弦）を使って書き換えると（ここを参照）．

$3$\displaystyle{ \begin{array}{lll}x& =\cos y & \vspace{6}\\ & =\sin $ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- y $ & \vspace{6}\\ \end{array} }$

となる．この関係式をアークサイン（逆正弦関数）を使って書き直すと

$3$\displaystyle{ { \sin }^{ - 1 }x=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- y }$

となる． $3$\displaystyle{ y={ \cos }^{ - 1 }x }$ であるので

$3$\displaystyle{ { \sin }^{ - 1 }x=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- { \cos }^{ - 1 }x }$

よって，

$3$\displaystyle{ { \cos }^{ - 1 }x=- { \sin }^{ - 1 }x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

となる．すなわち， $3$\displaystyle{ { \cos }^{ - 1 }x }$ は $3$\displaystyle{ { \sin }^{ - 1 }x }$ を用いて表すことができる．この関係を用いると

$3$\displaystyle{ { $ { \sin }^{ - 1 }x $ }^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}} }$ （ここを参照）

より

$3$\displaystyle{ { $ { \cos }^{ - 1 }x $ }^{\prime }={ $ - { \sin }^{ - 1 }x+\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}} }$

となる．

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最終更新日： 2025年4月25日