同次形微分方程式に関する問題

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}v\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1+{v}^{2} } \hspace{2}}dv }}$ ･･････(1)

■解

$3$\displaystyle{1+{v}^{2}=t}$ とおき，置換積分をする．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dv \hspace{2}}=2v}$

$3$\displaystyle{dt=2vdv}$

以上を(1)に代入すると

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{t} \hspace{2}}dt }}$

これを解くと

$3$\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{t} \hspace{2}}dt=\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{t}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }dt={t}^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$ $3$\displaystyle{ =\sqrt{t}=\sqrt{ 1+{v}^{2} } }$

となる．

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最終更新日： 2022年5月3日