線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }- y={e}^{x}}$

$3$\displaystyle{ y=x{e}^{x}+C{e}^{x} }$

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+P $x$ y=Q $x$ }$

一般解

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int Pdx } } $ \displaystyle{ \int Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }dx }+C $ }$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }- y={e}^{x}}$ 　･･････(1)

線形微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+P $x$ y=Q $x$ }$

の一般解は

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int Pdx } } $ \displaystyle{ \int Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }dx }+C $ }$

このことを利用すると，(1)の一般解は次のような式で求まる．

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int $ - 1 $ dx } } $ \displaystyle{ \int {e}^{x}{e}^{ \displaystyle{ \int \( - 1 $ dx } }dx }+C \) }$

積分すると

$3$\displaystyle{y}$ $3$\displaystyle{={e}^{x} $ \displaystyle{ \int {e}^{x}{e}^{ - x }dx }+C $ }$

$3$\displaystyle{={e}^{x} $ \displaystyle{ \int dx }+C $ }$

$3$\displaystyle{={e}^{x} $ x+C $ }$

$3$\displaystyle{=x{e}^{x}+C{e}^{x}}$

最終更新日： 2023年6月19日