線形微分方程式に関する問題

$3$\displaystyle{\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} 1- {x}^{2} \hspace{2}}dx }}$ 　･･････(＊)

■答

$3$\displaystyle{\log \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 1- {x}^{2} } \hspace{2}}}$

■ヒント

$3$\displaystyle{ 1- {x}^{2}=t }$ とおき，置換積分をする

■解き方

$3$\displaystyle{ 1- {x}^{2}=t }$ とおき，置換積分をする．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dt \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=- 2x}$ → $3$\displaystyle{xdx=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}dt}$

以上を(＊)に代入すると

$3$\displaystyle{ \int \left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2t \hspace{2}} }\right)dt }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \left|{t}\right|+C}$ 　　　( $3$\displaystyle{C}$ は積分定数)

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\log \left|{ 1- {x}^{2} }\right|+C}$

$3$\displaystyle{=\log {\left|{ 1- {x}^{2} }\right|}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }+C}$ 　(対数の性質より)

$3$\displaystyle{=\log \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ \left|{ 1- {x}^{2} }\right| } \hspace{2}}+C}$ 　　　

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最終更新日： 2023年6月20日