線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }- $ {e}^{ {x}^{2} }+2xy+y $ =0}$

■答

$3$\displaystyle{ y=- {e}^{ {x}^{2} }+C{e}^{ {x}^{2} }{e}^{x} }$

■ヒント

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

線形微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+P $x$ y=Q $x$ }$

一般解

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int Pdx } } $ \displaystyle{ \int Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }dx }+C $ }$

■解き方

$3$\displaystyle{ y\prime - $ {e}^{ {x}^{2} }+2xy+y $ =0 }$ 　・・・(１)

(1)式を整理する．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }- $ {e}^{ {x}^{2} }+2xy+y $ =0}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }- {e}^{ {x}^{2} }- 2xy- y=0}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }- 2xy- y={e}^{ {x}^{2} }}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }- $ 2x+1 $ y={e}^{ {x}^{2} }}$

線形微分方程式の一般解の公式を利用する

(⇒詳しくはこちら)

線形微分方程式

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }+P $x$ y=Q $x$ }$

の一般解は

$3$\displaystyle{y={e}^{ - \displaystyle{ \int Pdx } } $ \displaystyle{ \int Q{e}^{ \displaystyle{ \int Pdx } }dx }+C $ }$

このことを利用すると，(2)の一般解は次のような式で求まる．

$3$\displaystyle{y={e}^{ \displaystyle{ \int $ 2x+1 $ dx } } $ \displaystyle{ \int {e}^{ {x}^{2} }{e}^{ - \displaystyle{ \int \( 2x+1 $ dx } }dx }+C \) }$

積分すると

$3$\displaystyle{y}$ $3$\displaystyle{={e}^{ $ {x}^{2}+x $ } $ \displaystyle{ \int {e}^{ {x}^{2} }{e}^{ - \( {x}^{2}+x $ }dx }+C \) }$

$3$\displaystyle{={e}^{ {x}^{2} }{e}^{x} $ \displaystyle{ \int {e}^{ {x}^{2} }{e}^{ - {x}^{2} }{e}^{ - x }dx }+C $ }$

$3$\displaystyle{={e}^{ {x}^{2} }{e}^{x} $ \displaystyle{ \int {e}^{ - x }dx }+C $ }$

$3$\displaystyle{={e}^{ {x}^{2} }{e}^{x} $ - {e}^{ - x }+C $ }$

$3$\displaystyle{=- {e}^{ {x}^{2} }+C{e}^{ {x}^{2} }{e}^{x}}$

$3$\displaystyle{ =- {e}^{ {x}^{2} }+C{e}^{ {x}^{2}+x } }$

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最終更新日： 2023年6月20日