2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }- {y}^{\prime }- 2y=4{x}^{2}}$

■答

$3$\displaystyle{y=- 2{x}^{2}+2x- 3+\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ 2x }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ - x }}$ 　　

(ただし $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1},\hspace{1}{c}_{2} }$ は任意定数)

■ヒント

まず,特性方程式を立てると

$3$\displaystyle{{t}^{2}- t- 2=0}$

となる．

次に，非同次項が $3$\displaystyle{4{x}^{2}}$ なので与式の特殊解の一つ

$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{p}}$ は $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{p}=\hspace{1}{K}_{2}{x}^{2}+\hspace{1}{K}_{1}x+\hspace{1}{K}_{0}}$ の形とする．

■解き方

特性方程式を解くと

$3$\displaystyle{{t}^{2}- t- 2=0}$

$3$\displaystyle{ $ t- 2 $ $ t+1 $ =0}$

$3$\displaystyle{t=2,- 1}$

よって一般解は

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ 2x }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ - x }}$ 　　　　　(定数係数線形同次微分方程式を参照)

$3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1},\hspace{1}{c}_{2}}$ は任意定数

次に，特殊解を解く

$3$\displaystyle{{\left({ \hspace{1}{K}_{2}{x}^{2}+\hspace{1}{K}_{1}x+\hspace{1}{K}_{0} }\right)}^{\prime\prime }}$ $3$\displaystyle{- {\left({ \hspace{1}{K}_{2}{x}^{2}+\hspace{1}{K}_{1}x+\hspace{1}{K}_{0} }\right)}^{\prime }}$ $3$\displaystyle{ - 2 $ \hspace{1}{K}_{2}{x}^{2}+\hspace{1}{K}_{1}x+\hspace{1}{K}_{0} $ }$ $3$ =4{x}^{2}$

$3$\displaystyle{2\hspace{1}{K}_{2}- \left({ 2\hspace{1}{K}_{2}x+\hspace{1}{K}_{1} }\right)}$ $3$\displaystyle{- 2\left({ \hspace{1}{K}_{2}{x}^{2}+\hspace{1}{K}_{1}x+\hspace{1}{K}_{0} }\right)}$ $3$\displaystyle{=4{x}^{2}}$

$3$\displaystyle{- 2\hspace{1}{K}_{2}{x}^{2}- \left({ 2\hspace{1}{K}_{2}+2\hspace{1}{K}_{1} }\right)x}$ $3$\displaystyle{+2\hspace{1}{K}_{2}- \hspace{1}{K}_{1}- 2\hspace{1}{K}_{0}}$ $3$\displaystyle{=4{x}^{2}}$

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}- 2\hspace{1}{K}_{2}=4& \vspace{6}\\ 2\hspace{1}{K}_{2}+2\hspace{1}{K}_{1}=0& \vspace{6}\\ 2\hspace{1}{K}_{2}-\hspace{1}{K}_{1}- 2\hspace{1}{K}_{0}=0& \vspace{6}\\ \end{array} }$

$3$\displaystyle{\hspace{1}{K}_{2}=- 2,\hspace{1}{K}_{1}=2,\hspace{1}{K}_{0}=- 3}$

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{p}=- 2{x}^{2}+2x- 3}$

以上より

$3$\displaystyle{y=- 2{x}^{2}+2x- 3+\hspace{1}{c}_{1}{e}^{ 2x }+\hspace{1}{c}_{2}{e}^{ - x }}$

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>2階線形微分方程式に関する問題>>問題

最終更新日： 2023年6月20日