2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime\prime }- {y}^{\prime }=- 3{x}^{2}}$

■答

$3$\displaystyle{y={x}^{3}+3{x}^{2}+6x+\hspace{1}{c}_{1}{e}^{x}+\hspace{1}{c}_{2}}$

(ただし $3$\displaystyle{ \hspace{1}{c}_{1},\hspace{1}{c}_{2} }$ は任意定数)

■ヒント

まず，特性方程式を立てると

$3$\displaystyle{{t}^{2}- t=0}$

となる．

次に，非同次項が $3$\displaystyle{ - 3{x}^{2} }$ なので与式の特殊解の一つ $3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{p}}$ は

$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{p}=x $ \hspace{1}{K}_{2}{x}^{2}+\hspace{1}{K}_{1}x+\hspace{1}{K}_{0} $ }$

の形とする．

■解き方

特性方程式を解くと,

$3$\displaystyle{{t}^{2}- t=0}$

$3$\displaystyle{t $ t- 1 $ =0}$

$3$\displaystyle{t=0,1}$

よって一般解は

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{c}_{1}{e}^{x}+\hspace{1}{c}_{2}}$ , $3$\displaystyle{\hspace{1}{c}_{1},\hspace{1}{c}_{2}}$ は任意定数

(定数係数線形同次微分方程式を参照)

次に，特殊解を解く

$3$\displaystyle{ { $ \hspace{1}{K}_{2}{x}^{3}+\hspace{1}{K}_{1}{x}^{2}+\hspace{1}{K}_{0}x $ }^{\prime\prime } }$ $3$\displaystyle{ - $ \hspace{1}{K}_{2}{x}^{3} }$ $3$\displaystyle{ +\hspace{1}{K}_{1}{x}^{2} }$ $3$\displaystyle{ { +\hspace{1}{K}_{0}x $ }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ =- 3{x}^{2} }$

$3$\displaystyle{ - 3\hspace{1}{K}_{2}{x}^{2}+x $ 6\hspace{1}{K}_{2}- 2\hspace{1}{K}_{1} $ +2\hspace{1}{K}_{1}- \hspace{1}{K}_{0} }$ $3$\displaystyle{ =- 3{x}^{2} }$

$3$\displaystyle{ \{\begin{array}{lll}- 3\hspace{1}{K}_{2}=- 3& \vspace{6}\\ 6\hspace{1}{K}_{2}- 2\hspace{1}{K}_{1}=0& \vspace{6}\\ 2\hspace{1}{K}_{1}- \hspace{1}{K}_{0}=0& \vspace{6}\\ \end{array} }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{K}_{2}=1 }$ , $3$\displaystyle{ \hspace{1}{K}_{1}=3 }$ , $3$\displaystyle{ \hspace{1}{K}_{0}=6 }$

よって

$3$\displaystyle{\hspace{1}{y}_{p}={x}^{3}+3{x}^{2}+6x}$

以上より

$3$\displaystyle{y={x}^{3}+3{x}^{2}+6x+\hspace{1}{c}_{1}{e}^{x}+\hspace{1}{c}_{2}}$

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最終更新日： 2023年6月20日