微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の計算をせよ．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+2D+8 \hspace{2}}\sin 2x}$

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} $ \cos 2x+\sin 2x $ +\frac{\hspace{2}i\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} $ \sin 2x- \cos 2x $ }$

■ヒント

オイラーの公式を用いると

$3$\displaystyle{ {e}^{ i2x }=\cos 2x+i\sin 2x }$

となる．よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+2D+8 \hspace{2}}{e}^{ i2x }}$

の解の虚部が与式の解となる．この公式を参照

■解き方

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+2D+8 \hspace{2}}{e}^{ i2x }}$

この公式を利用する

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ 2i $ }^{2}+2\cdot 2i+8 \hspace{2}}{e}^{ i2x }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 4+4i \hspace{2}}{e}^{ i2x }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 4- 4i \hspace{2}}{\hspace{2} $ 4+4i $ $ 4- 4i $ \hspace{2}} $ \cos 2x+i\sin 2x $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 1- i \hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} $ \cos 2x+i\sin 2x $ }$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} $ \cos 2x+\sin 2x $ +i\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}} $ \sin 2x- \cos 2x $ }$

よって

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {D}^{2}+2D+8 \hspace{2}}\sin 2x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}8\hspace{2}}\left({ \sin 2x- \cos 2x }\right) }$

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最終更新日： 2023年6月29日