微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y={ \sin }^{3} $ 3x+1 $ }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime } =9{\sin }^{2}\left({ 3x+ 1 }\right)\cos \left({ 3x+1 }\right) }$

■ヒント

合成関数の導関数

$3$\displaystyle{ {\left{{ f\left({ g\left({x}\right) }\right) }\right}}^{\prime }={f}^{\prime }\left({ g\left({x}\right) }\right)\cdot {g}^{\prime }\left({x}\right) }$

の式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y={\sin }^{3}\left({ 3x+ 1 }\right) }$

を

$3$\displaystyle{ y={u}^{3} }$

$3$\displaystyle{ u=\sin s }$

$3$\displaystyle{ s=3x+1 }$

とおく．

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}dy\hspace{2}}{\hspace{2}du\hspace{2}}=3{u}^{2} }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}du\hspace{2}}{\hspace{2}ds\hspace{2}}=\cos s }$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}ds\hspace{2}}{\hspace{2}dx\hspace{2}}=3 }$

よって

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}dy\hspace{2}}{\hspace{2}dx\hspace{2}}=\frac{\hspace{2}dy\hspace{2}}{\hspace{2}du\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}du\hspace{2}}{\hspace{2}ds\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}ds\hspace{2}}{\hspace{2}dx\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =3{u}^{2}\left({ \cos s }\right)\cdot 3 }$

$3$\displaystyle{ =9{\sin }^{2}\left({ 3x+ 1 }\right)\cos \left({ 3x+1 }\right) }$

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最終更新日： 2025年4月9日