微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y={ \cos }^{4} $ 3x- 2 $ }$

■解説動画

◇微分の動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\begin{array}{lll}- 12{\cos }^{3} $ 3x- 2 $ \sin $ 3x- 2 $ & \vspace{6}\\ \end{array}}$

■ヒント

合成関数の導関数

$3$\displaystyle{ { \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) \cdot {g}^{\prime } $x$ }$

の式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y={ \cos }^{4} $ 3x- 2 $ }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=4{ \cos }^{3} $ 3x- 2 $ { $ \cos 3x- 2 $ }^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ =4{ \cos }^{3} $ 3x- 2 $ \{ - \sin $ 3x- 2 $ \} { $ 3x- 2 $ }^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ =4{ \cos }^{3} $ 3x- 2 $ \{ - \sin $ 3x- 2 $ \} \cdot 3 }$

$3$\displaystyle{ =- 12co{s}^{3} $ 3x- 2 $ \sin $ 3x- 2 $ }$

●別解

$3$\displaystyle{ y={ \cos }^{4} $ 3x- 2 $ }$

を

$3$\displaystyle{y={u}^{4}}$ ， $3$\displaystyle{u=\cos $ 3x- 2 $ }$

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=4{u}^{3}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ の計算は再び合成関数の微分をする．

$3$\displaystyle{u=\cos $ 3x- 2 $ }$

を

$3$\displaystyle{u=\cos s}$

$3$\displaystyle{s=3x- 2}$

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}}=- \sin s}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} ds \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=3}$

よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} ds \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{= $ - \sin s $ \cdot 3}$ $3$\displaystyle{=- 3\sin $ 3x- 2 $ }$

したがって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=4{u}^{3} \{ - 3\sin $ 3x- 2 $ \} }$

$3$\displaystyle{=- 12{ \{ \cos $ 3x- 2 $ \} }^{3}\sin $ 3x- 2 $ }$

$3$\displaystyle{ =- 12{ \cos }^{3} $ 3x- 2 $ \sin $ 3x- 2 $ }$

■備考

上の計算より

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dS \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dS \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

である．よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dS \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} dS \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

となる．この式を用いると

$3$\displaystyle{ y={ \cos }^{4} $ 3x- 2 $ }$

を

$3$\displaystyle{y={u}^{4}}$

$3$\displaystyle{u=\cos s}$

$3$\displaystyle{s=3x- 2}$

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}=4{u}^{3}}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}}=- \sin s}$

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} ds \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=3}$

よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}= $ 4{u}^{3} $ $ - \sin s $ \cdot 3}$

$3$\displaystyle{=4{ \{ \cos $ 3x- 2 $ \} }^{3} \{ - \sin $ 3x- 2 $ \} \cdot 3}$

$3$\displaystyle{ =- 12{ \cos }^{3} $ 3x- 2 $ \sin $ 3x- 2 $ }$

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>微分の計算問題>>この問題

最終更新日： 2025年4月22日