微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y={ \tan }^{3} $ 4x- 1 $ }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} 12{ \tan }^{2}\left({ 4x- 1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}\left({ 4x- 1 }\right) \hspace{2}}}$

■ヒント

合成関数の導関数より

$3$\displaystyle{ { \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) \cdot {g}^{\prime } $x$ }$

の式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y={\tan }^{3} $ 4x- 1 $ }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=3{\left{{ \tan $ 4x- 1 $ }\right}}^{2}{\left{{ \tan \left({ 4x- 1 }\right) }\right}}^{\prime } }$

(合成関数の導関数を参照)

$3$\displaystyle{ =3{\left{{ \tan $ 4x- 1 $ }\right}}^{2}\cdot \frac{\hspace{2}\text{1}\hspace{2}}{\hspace{2} {\text{\cos }}^{\text{2}}\left({ 4x- 1 }\right) \hspace{2}}\cdot {\left({ 4x- 1 }\right)}^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ =3{\left{{ \tan $ 4x- 1 $ }\right}}^{2}\cdot \frac{\hspace{2}\text{1}\hspace{2}}{\hspace{2} {\text{\cos }}^{\text{2}}\left({ 4x- 1 }\right) \hspace{2}}\cdot 4 }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} \text{12}{\tan }^{\text{2}}$ 4x- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} {\text{\cos }}^{\text{2}}\left({ 4x- 1 }\right) \hspace{2}} }$

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最終更新日： 2025年4月22日