微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y= $ 3{x}^{2}- 1 $ \tan \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} }$

■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=6x\tan \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} 3{x}^{2}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}{ \cos }^{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} \hspace{2}}}$

■ヒント

関数の積の微分より

$3$\displaystyle{ { \left{{ g\left({x}\right)h\left({x}\right) }\right} }^{\prime } }$ $3$\displaystyle{ ={g}^{\prime }\left({x}\right)h\left({x}\right)+g\left({x}\right){h}^{\prime }\left({x}\right) }$

の式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y= $ 3{x}^{2}- 1 $ \tan \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }={ \left({ 3{x}^{2}- 1 }\right) }^{\prime }\tan \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ +\left({ 3{x}^{2}- 1 }\right){ \left({ \tan \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} }\right) }^{\prime } }$

(関数の積の微分を参照)

$3$\displaystyle{ =6x\tan \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ +\left({ 3{x}^{2}- 1 }\right)\left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}{ \cos }^{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} \hspace{2}} }\right) }$

( $3$\displaystyle{ \tan \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} }$ の微分は合成関数の導関数を利用して計算する⇒ここを参照)

$3$\displaystyle{ =6x\tan \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} 3{x}^{2}- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}{\cos }^{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} \hspace{2}} }$

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最終更新日： 2023年10月7日