微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y=\tan \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} }$

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■答

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}{ \cos }^{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} \hspace{2}} }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ { $ \tan x $ }^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}x \hspace{2}} }$ ここを参照

の式を用いる．

■解き方

$3$\displaystyle{ y=\tan \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} }$

合成関数の導関数を参照

$3$\displaystyle{ u=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} }$ とおく

$3$\displaystyle{\displaystyle{y=\tan u}}$

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}dy\hspace{2}}{\hspace{2}du\hspace{2}}={\left({ \tan u }\right)}^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ ={\left({\frac{\hspace{2} \sin u \hspace{2}}{\hspace{2} \cos u \hspace{2}}}\right)}^{\prime } }$ 三角関数の相互関係を参照

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} { $ \sin u $ }^{\prime }\cos u- \sin u{ $ \cos u $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} {\cos }^{2}u \hspace{2}} }$ 商の微分を参照

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} {\sin }^{2}u+ {\cos }^{2}u \hspace{2}}{\hspace{2} {\cos }^{2}u \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\cos }^{2}u \hspace{2}} }$ 三角関数の相互関係を参照

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}={ \left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} }\right) }^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}{ \left({ {x}^{ - 1 } }\right) }^{\prime } }$ 定数倍の微分，指数が負の整数を参照

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\left({ - 1\cdot {x}^{ - 2 } }\right) }$ べき関数の微分を参照

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2} \hspace{2}} }$

よって

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}dy\hspace{2}}{\hspace{2}dx\hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\cos }^{2}u \hspace{2}}\cdot $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2} \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}{\cos }^{2}u \hspace{2}} }$

変数を $3$u$ から $3$x$ に戻す．

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}{\cos }^{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} \hspace{2}} }$

●合成関数の微分の公式 $3$\displaystyle{{ \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) ·{g}^{\prime } $x$ }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
を使う場合

この計算は微分の計算に慣れた方向けである．

$3$\displaystyle{{\left({ \tan \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} }\right)}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} \hspace{2}}\cdot {\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} }\right)}^{\prime }}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \cos }^{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} \hspace{2}}\cdot \left({ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2} \hspace{2}} }\right)}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{x}^{2}{ \cos }^{2}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x \hspace{2}} \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年2月20日

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■ヒント

■解き方

●合成関数の微分の公式 TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。 を使う場合

●合成関数の微分の公式 $3$\displaystyle{{ \{ f \( g \(x\) \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } \( g \(x\) \) ·{g}^{\prime } \(x\) }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
を使う場合