微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y={ $ {x}^{3} $ }^{ - 4 } \text{\hspace{1} }\text{\hspace{1} }}$

■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }= - 12{x}^{ - 13 } \text{\hspace{1} }}$ あるいは， $3$\displaystyle{ - \frac{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{ 13 } \hspace{2}} \text{\hspace{1} }}$

■ヒント

基本となる関数の導関数より

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ ={ $ {x}^{a} $ }^{\prime }=a{x}^{ a- 1 } \text{\hspace{1} }}$

　　　　( $3$a$ は実数)

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y={ $ {x}^{3} $ }^{ - 4 } \text{\hspace{1} }}$

(計算しやすいよう，指数法則 $3$\displaystyle{{ $ {a}^{r} $ }^{s}={a}^{ rs }\text{\hspace{1} }}$ を用いて式を変形する)

$3$\displaystyle{ ={x}^{ - 12 } \text{\hspace{1} }}$

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=- 12{x}^{ - 12- 1 }=- 12{x}^{ - 13 } \text{\hspace{1} }}$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 12 \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{ 13 } \hspace{2}}}$

●別解

合成関数 $3$\displaystyle{f $ g \(x$ \) \text{\hspace{1} }}$ の微分 $3$\displaystyle{{ \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) {g}^{\prime } $x$ \text{\hspace{1} }}$ を用いる．