微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} {t}^{5}+1 \hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{5} \hspace{2}}}$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{6} \hspace{2}}}$

■ヒント

微分の公式を利用して解く．

■解説

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} {t}^{5}+1 \hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{5} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{5} \hspace{2}}}$

微分の公式を利用できるようにあらかじめ式を変形する．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }={ $1$ }^{\prime }+{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{5} \hspace{2}} $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=0+{ $ {t}^{ - 5 } $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=- 5{t}^{ - 6 }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{6} \hspace{2}}}$

●別解

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} {t}^{5}+1 \hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{5} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} { $ {t}^{5}+1 $ }^{\prime }\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{t}^{5}- $ {t}^{5}+1 $ \text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ {t}^{5} $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {t}^{5} $ }^{2} \hspace{2}}}$

分数の導関数の公式を用いる．

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \{ { $ {t}^{5} $ }^{\prime }+{ $1$ }^{\prime } \} \text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{t}^{5}- $ {t}^{5}+1 $ \text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} } $ 5{t}^{4} $ \hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{ 10 } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \{ $ 5{t}^{4} $ + $0$ \} \text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{t}^{5}- 5{t}^{4} $ {t}^{5}+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{ 10 } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 5{t}^{4}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{t}^{5}- 5{t}^{4} $ {t}^{5}+1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{ 10 } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 5{t}^{9}- 5{t}^{9}- 5{t}^{4} \hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{ 10 } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} {t}^{6} \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2025年4月22日