微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{y=\sqrt[5]{ 5x- 7 }}$

■答

$3$\displaystyle{\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[5]{ { $ 5x- 7 $ }^{4} } \hspace{2}}}}$

■ヒント

逆関数の導関数を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{y=\sqrt[5]{ 5x- 7 }}$

両辺を５乗する．

$3$\displaystyle{{y}^{5}=5x- 7}$

これを $3$x$ について解く．

$3$\displaystyle{ 5x ={y}^{5}+7 }$

$3$\displaystyle{x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{y}^{5}+\frac{\hspace{2}7\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}}$

これを更に $3$y$ に関して微分する．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} } $ 5{y}^{4} $ }$ $3$\displaystyle{={y}^{4}}$

逆関数の導関数を用いる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} dy \hspace{2}} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {y}^{4} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[5]{ { $ 5x- 7 $ }^{4} } \hspace{2}}}$

●別解

$3$\displaystyle{y=\sqrt[5]{ 5x- 7 }}$

微分の公式を適応しやすいように式を変形する．

$3$\displaystyle{={ $ 5x- 7 $ }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$ 　　　　　

合成関数を微分する手順に従う．

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{ $ 5x- 7 $ }^{ - \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ 5x- 7 $ }^{\prime }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{ $ 5x- 7 $ }^{ - \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }5}$

$3$\displaystyle{={ $ 5x- 7 $ }^{ - \frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt[5]{ { $ 5x- 7 $ }^{4} } \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2021年3月22日