媒介変数表示の問題

■問題

$3$x$ ， $3$y$ が次のような式で表される時，点P $3$\displaystyle{ $ x,y $ }$ はどのような図形を描くか．

$3$\displaystyle{x=3t- 4}$ ， $3$\displaystyle{y=3{t}^{2}- 7}$

■答

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\left({ x+4 }\right)}^{2}- 7}$ で表される放物線（2次曲線）を描く

■ヒント

媒介変数の $3$\displaystyle{t}$ を消去する．

■解説

$3$\displaystyle{x=3t+4}$ より

$3$\displaystyle{t=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x+\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

これを $3$\displaystyle{y=3{t}^{2}- 7}$ に代入する．

$3$\displaystyle{y=3{ $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x+\frac{\hspace{2}4\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }^{2}- 7}$

$3$\displaystyle{=3 $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}x+\frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}} $ - 7}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x+\frac{\hspace{2} 16 \hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- 7}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{2}+\frac{\hspace{2}8\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}x- \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ {x}^{2}+8x- 5 $ }$

平方完成をする

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\left({ {x}^{2}+8x+16- 21 }\right)}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{\left({ x+4 }\right)}^{2}- 7}$

よて，頂点座標が $3$\displaystyle{\left({ - 4,- 7 }\right)}$ となる下に凸の放物線（2次曲線）を描く．

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最終更新日： 2024年9月13日