微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} {e}^{6}\cos 6x \hspace{2}}{\hspace{2} \log 3x \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=- \frac{\hspace{2} {e}^{6} $ 6x\sin 6x\log 3x+\cos 6x $ \hspace{2}}{\hspace{2} x{ $ \log 3x $ }^{2} \hspace{2}}}$

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

$3$\displaystyle{ {e}^{6} }$ は関数ではなく，数値と扱いが同じであることに注意する．

■解説

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} {e}^{6}\cos 6x \hspace{2}}{\hspace{2} \log 3x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} { $ {e}^{6}\cos 6x $ }^{\prime }\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\log 3x- {e}^{6}\cos 6x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ \log 3x $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { $ \log 3x $ }^{2} \hspace{2}}}$

(分数関数の微分の公式を用いる)

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} - 6{e}^{6}\sin 6x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\log 3x- {e}^{6}\cos 6x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ \log 3x $ }^{2} \hspace{2}}}$

(合成関数の微分の公式を用いる)

分母，分子を $3$\displaystyle{x}$ 倍して

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} x $ - 6{e}^{6}\sin 6x\log 3x+\cos 6x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ \hspace{2}}{\hspace{2} x{ $ \log 3x $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} {e}^{6} $ 6x\sin 6x\log 3x+\cos 6x $ \hspace{2}}{\hspace{2} x{ $ \log 3x $ }^{2} \hspace{2}}}$

●別解

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} {e}^{6}\cos 6x \hspace{2}}{\hspace{2} \log 3x \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={e}^{6}\cos 6x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }{ $ \log 3x $ }^{ - 1 }}$

関数 $3$\displaystyle{{e}^{6}\cos 6x}$ と関数 $3$\displaystyle{{ $ \log 3x $ }^{ - 1 }}$ の積と考えて微分する．

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }={ $ {e}^{6}\cos 6x $ }^{\prime }\cdot { $ \log 3x $ }^{ - 1 } }$ $3$\displaystyle{ +{e}^{6}\cos 6x\cdot { \{ { $ \log 3x $ }^{ - 1 } \} }^{\prime } }$

$3$\displaystyle{ =- 6{e}^{6}\sin 6x\cdot { $ \log 3x $ }^{ - 1 } }$ $3$\displaystyle{ +{e}^{6}\cos 6x\cdot \{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x{ $ \log 3x $ }^{2} \hspace{2}} \} }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 6{e}^{6}\sin 6x \hspace{2}}{\hspace{2} \log 3x \hspace{2}}- \frac{\hspace{2} {e}^{6}\cos 6x \hspace{2}}{\hspace{2} x{ $ \log 3x $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 6{e}^{6}\sin 6x\text{\hspace{1} }\cdot \text{\hspace{1} }x\log 3x+{e}^{6}\cos 6x \hspace{2}}{\hspace{2} x{ $ \log 3x $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} {e}^{6} $ 6x\sin 6x\log 3x+\cos 6x $ \hspace{2}}{\hspace{2} x{ $ \log 3x $ }^{2} \hspace{2}}}$

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最終更新日： 2023年10月9日