微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y={e}^{ 3x } }$

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■答

$3$\displaystyle{ y={3e}^{ 3x } }$

■ヒント

合成関数の微分

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ y={e}^{ 3x } }$

を

$3$\displaystyle{ y={e}^{u} }$ ， $3$\displaystyle{ u=3x }$

とおく．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}={e}^{u}}$ ， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=3 }$

よって

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} dy \hspace{2}}{\hspace{2} du \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} du \hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{ ={e}^{u}\cdot $3$ }$ $3$\displaystyle{ ={ 3e }^{ 3x } }$

●別解

合成関数の微分

$3$\displaystyle{ { \{ f $ g \(x$ \) \} }^{\prime }={f}^{\prime } $ g \(x$ \) \cdot {g}^{\prime } $x$ }$

の公式を用いた場合

$3$\displaystyle{\displaystyle{y={e}^{ 3x }}}$ ， $3$\displaystyle{ f$u$={e}^{u} }$ ， $3$\displaystyle{ u=g$x$=3x }$

と考える．

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }$u$={e}^{u} }$ →　 $3$\displaystyle{ {f}^{\prime }$g\(x$\)={e}^{ 3x } }$ ， $3$\displaystyle{ {g}^{\prime }$x$=3 }$

となる．よって

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }={f}^{\prime }$g\(x$\)\cdot {g}^{\prime }$x$ }$ $3$\displaystyle{ { =e }^{ 3x }\cdot 3 }$ $3$\displaystyle{ { =3e }^{ 3x } }$

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最終更新日： 2025年2月20日