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微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

$3$\displaystyle{ y=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} x+\sqrt{ {x}^{2}+1 } \hspace{2}} }$

■答

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+\sqrt{ {x}^{2}+1 } $ }^{2}\sqrt{ {x}^{2}+1 } \hspace{2}} }$

■ヒント

商の微分の公式,合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

$3$\displaystyle{ {y}^{\prime }=\frac{\hspace{2} 1\cdot $ x+\sqrt{ {x}^{2}+1 } $ - x $ 1+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+1 } \hspace{2}}\cdot 2x $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+\sqrt{ {x}^{2}+1 } $ }^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} $ x+\sqrt{ {x}^{2}+1 } $ - x $ 1+\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+1 } \hspace{2}} $ \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+\sqrt{ {x}^{2}+1 } $ }^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} $ x+\sqrt{ {x}^{2}+1 } $ - x- \frac{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {x}^{2}+1 } \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+\sqrt{ {x}^{2}+1 } $ }^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2} {x}^{2}+1- {x}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+\sqrt{ {x}^{2}+1 } $ }^{2}\sqrt{ {x}^{2}+1 } \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { $ x+\sqrt{ {x}^{2}+1 } $ }^{2}\sqrt{ {x}^{2}+1 } \hspace{2}} }$

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2022年5月5日

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