基本的な関数の微分 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} }$

■問題

$3$\displaystyle{ f$x$=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} }$

■解説動画

◇微分に関する動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }$x$=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x\sqrt{x} \hspace{2}} }$

■解説

$3$\displaystyle{ f $x$ } =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} ={x}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

と表すことができる．

●公式を用いた計算

微分の公式を用いると

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {x}^{ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- 1 } }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot {x}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} x\sqrt{x} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x\sqrt{x} \hspace{2}} }$

となる．

●導関数の定義を用いた計算

導関数の定義式を利用すると

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }$x$={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f\left({ x+ {\Delta}x }\right)- f\left({x}\right) \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{ x+ {\Delta}x }\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{x}\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$

分子を通分する．

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} \sqrt{x}- \sqrt{ x+ {\Delta}x } \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x}\sqrt{ x+ {\Delta}x } \hspace{2}} }$

分母，分子に $3$\displaystyle{ \sqrt{x}+\sqrt{ x+{\Delta}x } }$ を掛けて分子の有理化をする．

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \cdot \frac{\hspace{2} \left({ \sqrt{x}- \sqrt{ x+ {\Delta}x } }\right)\left({ \sqrt{x}+ \sqrt{ x+ {\Delta}x } }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x}\sqrt{ x+ {\Delta}x }\left({ \sqrt{x}+ \sqrt{ x+ {\Delta}x } }\right) \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \cdot \frac{\hspace{2} x- $x+ {\Delta}x$ \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x}\sqrt{ x+ {\Delta}x }\left({ \sqrt{x}+ \sqrt{ x+ {\Delta}x } }\right) \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \cdot \frac{\hspace{2} - {\Delta}x \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x}\sqrt{ x+ {\Delta}x }\left({ \sqrt{x}+ \sqrt{ x+ {\Delta}x } }\right) \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x}\sqrt{ x+ {\Delta}x }\left({ \sqrt{x}+ \sqrt{ x+ {\Delta}x } }\right) \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2x\sqrt{x} \hspace{2}} }$

となる．

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分に関する演習問題>>導関数の定義を用いた微分の計算問題>> $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{x} \hspace{2}} }$ の微分

最終更新日： 2025年4月18日