極値の問題

■問題

関数 $3$\displaystyle{ f$x$={x}^{3}+a{x}^{2}+bx- 3 }$ が $3$\displaystyle{ x=- 1 }$ で極大， $3$\displaystyle{ x=3 }$ で極小となるとき， $3$\displaystyle{ a }$ と $3$\displaystyle{ b }$ の値を求めよ．また，極値を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{ a=- 3 }$ ， $3$\displaystyle{ b=- 9 }$

$3$\displaystyle{ x=- 1 }$ のとき，極大値 $3$\displaystyle{ f$- 1$=2 }$

$3$\displaystyle{ x=3 }$ のとき，極小値 $3$\displaystyle{ f$3$=- 30 }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ x=- 1 }$ ， $3$\displaystyle{ x=3 }$ に極値があるため

$3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({ - 1 }\right)=0}$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({3}\right)=0}$

が成り立つ．

■解説

$3$\displaystyle{ f$x$=3{x}^{3}+a{x}^{2}+bx- 3 }$ から

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({x}\right)=3{x}^{2}+2ax+b }$

$3$\displaystyle{ x=- 1 }$ で極大値， $3$\displaystyle{ x=3 }$ で極小値をとるため

$3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({ - 1 }\right)=0}$ ， $3$\displaystyle{{f}^{\prime }\left({3}\right)=0}$

が成り立つ．

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({ - 1 }\right)=3- 2a+b=0 }$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({3}\right)=27+6a+b=0 }$ ･･････(2)

(1)，(2)からなる連立方程式を解く

(1)-(2)より

$3$\displaystyle{- 24- 8a=0}$

$3$\displaystyle{a=- 3}$

$3$\displaystyle{a=- 3}$ を(1)に代入する．

$3$\displaystyle{3- 2\left({ - 3 }\right)+b=0}$

$3$\displaystyle{b=- 9}$

したがって

$3$\displaystyle{ f$x$={x}^{3}- 3{x}^{2}- 9x- 3 }$

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({x}\right)=3{x}^{2}- 6x- 9 }$

$3$\displaystyle{ =3${x}^{2}- 2x- 3$ }$

$3$\displaystyle{ =3$x+1$$x- 3$ }$

となるため，増減表を次のようになる．

$3$x$	…	$3$\displaystyle{ - 1 }$	…	$3$3$	…
$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$	+	$3$0$	－	$3$0$	+
$3$\displaystyle{f $x$ }$	$3$\displaystyle{\nearrow }$	極大	$3$\displaystyle{\searrow }$	極小	$3$\displaystyle{\nearrow }$