極値の問題

■問題

関数 $3$\displaystyle{ f$x$=2{x}^{3}- 2a{x}^{2}- bx+{a}^{2}- 10 }$ が $3$\displaystyle{ x=1 }$ で極小値 $3$\displaystyle{ 10 }$ をとるとき， $3$\displaystyle{ a }$ と $3$\displaystyle{ b }$ の値を求めよ．また、極大値を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{ a=- 6,\text{\hspace{5}}b=30 }$

$3$\displaystyle{ x=- 5 }$ のとき，極大値 $3$\displaystyle{ f$- 5$=226 }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ x=1 }$ で極小値 $3$\displaystyle{ 10 }$ をとるため

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({1}\right)=0 }$ ， $3$\displaystyle{ f$1$=10 }$

が成り立つ．

■解説

$3$\displaystyle{ f$x$=2{x}^{3}- 2a{x}^{2}- bx+{a}^{2}- 10 }$ から

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({x}\right)=6{x}^{2}- 4ax- b }$

$3$\displaystyle{ x=1 }$ で極小値 $3$\displaystyle{ 10 }$ をとるため

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({1}\right)=0 }$ より

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({1}\right)=6- 4a- b=0 }$ ･･････(1)

$3$\displaystyle{ f$1$=10 }$ より

$3$\displaystyle{ f$1$={a}^{2}- 2a- b- 8=10 }$ ･･････(2)

(1)と(2)からなる連立方程式を解く

(1)より

$3$\displaystyle{b=- 4a+6}$ ･･････(3)

(3)を(2)に代入する．

$3$\displaystyle{{a}^{2}- 2a- \left({ - 4a+6 }\right)- 8=10}$

$3$\displaystyle{{a}^{2}+2a- 24=0}$

$3$\displaystyle{\left({ a+6 }\right)\left({ a- 4 }\right)=0}$

$3$\displaystyle{a=- 6,4}$

$3$a=- 6$ を(3)に代入する

$3$\displaystyle{b=- 4\left({ - 6 }\right)+6=30}$

$3$a=4$ を(3)に代入する．

$3$\displaystyle{b=- 4\cdot 4+6=- 10}$

よって

$3$\displaystyle{ $a,\text{\hspace{5}}b$=$- 6,\text{\hspace{5}}30$,\text{\hspace{5}}$4,\text{\hspace{5}}- 10$ }$

$3$\displaystyle{ a=- 6,\text{\hspace{5}}b=30 }$ のとき

$3$\displaystyle{ f$x$=2{x}^{3}+12{x}^{2}- 30x+26 }$

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({x}\right)=6{x}^{2}+24x- 30 }$

$3$\displaystyle{ =6${x}^{2}+4x- 5$ }$

$3$\displaystyle{ =6$x+5$$x- 1$ }$

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({x}\right)=0 }$ とすると， $3$\displaystyle{x=- 5,\text{\hspace{5}}1}$

となるため，増減表を次のようになる．

$3$x$	…	$3$\displaystyle{ - 5 }$	…	$3$1$	…
$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$	+	$3$0$	-	$3$0$	+
$3$\displaystyle{f $x$ }$	$3$\displaystyle{\nearrow }$	極大	$3$\displaystyle{\searrow }$	極小	$3$\displaystyle{\nearrow }$

よって， $3$\displaystyle{ x=1 }$ で極小値 $3$\displaystyle{ 10 }$ をとり条件を満たす．

また， $3$\displaystyle{x=- 5}$ のとき，極大値は

$3$\displaystyle{ f$- 5$ }$ $3$\displaystyle{ =2\cdot { $- 5$ }^{3}+12\cdot {5}^{2}- 30\cdot $- 5$+26 }$ $3$\displaystyle{ =226 }$

となる．

$3$\displaystyle{ a=4,\text{\hspace{5}}b=- 10 }$ のとき

$3$\displaystyle{ f$x$=2{x}^{3}- 8{x}^{2}+10x+6 }$

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({x}\right)=6{x}^{2}- 16x+10 }$

$3$\displaystyle{ =2$3{x}^{2}- 8x+5$ }$

$3$\displaystyle{ =2$x- 1$$3x- 5$ }$

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }\left({x}\right)=0 }$ とすると， $3$\displaystyle{ x=1,\text{\hspace{5}}\frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$

となるため，増減表を次のようになる．

$3$x$	…	$3$\displaystyle{ 1 }$	…	$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }$	…
$3$\displaystyle{{f}^{\prime } $x$ }$	+	$3$0$	-	$3$0$	+
$3$\displaystyle{f $x$ }$	$3$\displaystyle{\nearrow }$	極大	$3$\displaystyle{\searrow }$	極小	$3$\displaystyle{\nearrow }$

$3$\displaystyle{ x=1 }$ は極大値となるため， $3$\displaystyle{ x=1 }$ で極小値 $3$\displaystyle{ 10 }$ の条件を満たさない．

以上より， $3$\displaystyle{ a=- 6,\text{\hspace{5}}b=30 }$ となる．

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最終更新日： 2025年11月28日