基本的な関数の微分 $3$\displaystyle{ {x}^{3} }$

■問題

次の関数の導関数を微分の公式および導関数の定義式を用いて求めよ．

$3$\displaystyle{ f$x$={x}^{3} }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }$x$=3{x}^{2} }$

■解説

●公式を用いた計算

微分の公式を用いると

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime } $x$ =3\cdot {x}^{ 3- 1 } }$ $3$\displaystyle{ =3{x}^{2} }$

となる．

●導関数の定義を用いた計算

導関数の定義式を利用すると

$3$\displaystyle{ {f}^{\prime }$x$={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} f$x+ {\Delta}x$- f$x$ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} { $x+ {\Delta}x$ }^{3}- {x}^{3} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \left{{ {x}^{3}+ 3{x}^{2}{\Delta}x+ 3x{ ${\Delta}x$ }^{2} }$ $3$\displaystyle{ \left.{ + { ${\Delta}x$ }^{3} }\right\} - {x}^{3} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}} }$ $3$\displaystyle{ \left{{ 3{x}^{2}{\Delta}x+ 3x{ ${\Delta}x$ }^{2} }$ $3$\displaystyle{ \left.{ + { ${\Delta}x$ }^{3} }\right\} }$

$3$\displaystyle{ ={\lim}\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\left{{ 3{x}^{2}+ 3x{\Delta}x+ { ${\Delta}x$ }^{2} }\right} }$

$3$\displaystyle{ =3{x}^{2}+ 3x\cdot 0+ { $0$ }^{2} }$

$3$\displaystyle{ =3{x}^{2} }$

となる．

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最終更新日： 2025年4月18日