フーリエ級数の問題

■問題

$3$\displaystyle{ f\left({x}\right)=\left{{ \begin{array} - 1 & \left({ - 1≦x< 0 }\right) & \vspace{6}\\ 2& \left({ 0≦x< 1 }\right) & \vspace{6}\\ \end{array} }$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
， $3$\displaystyle{ f\left({ x+2 }\right)=f\left({x}\right) }$

のフーリエ級数を求めよ．

■解答

$3$\displaystyle{ f $x$ \sim \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}} $ \sin {\pi}x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\sin 3{\pi}x+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}\sin 5{\pi}x+\cdots \cdots $ }$

■ヒント

フーリエ係数

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{0}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2{\pi} \hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - {\pi} }^{{\pi}} f $x$ dx } }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\int _{ - {\pi} }^{{\pi}} f $x$ \cos nx dx }$ 　　　　( $3$\displaystyle{ n=1,2,3\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}\cdot }$ )

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{b}_{n}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}\int _{ - {\pi} }^{{\pi}} f $x$ \sin nxdx }$ 　　　　( $3$\displaystyle{ n=1,2,3\text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}\cdot \text{\hspace{1}}\cdot }$ )

を求める

■解き方

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{0}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - 1 }^{1} f $x$ dx } }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ \displaystyle{ \int _{ - 1 }^{0} $ - 1 $ dx+\displaystyle{ \int _{0}^{1} 2dx } } \} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ - \[x\] _{ - 1 }^{0}+2 \[x\] _{0}^{1} \} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \{ - 1+2\cdot 1 \} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{a}_{n}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - 1 }^{1} f $x$ \cos n{\pi}x }dx }$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int _{ - 1 }^{0} $ - \cos n{\pi}x $ dx }+\displaystyle{ \int _{0}^{1} 2\cos n{\pi}xdx } }$

$3$\displaystyle{ = \[ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}\sin n{\pi}x \] _{ - 1 }^{0}+ \[ \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}\sin n{\pi}x \] _{0}^{1} }$

$3$\displaystyle{ =0+0 }$

$3$\displaystyle{ =0 }$

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{b}_{n}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}1\hspace{2}}\displaystyle{ \int _{ - 1 }^{1} f $x$ \sin n{\pi}xdx } }$

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int _{ - 1 }^{0} $ - \sin n{\pi}x $ dx }+\displaystyle{ \int _{0}^{1} 2\sin n{\pi}xdx } }$

$3$\displaystyle{ = \[ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}\cos n{\pi}x \] _{ - 1 }^{0}+2 \[ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}\cos n{\pi}x \] _{0}^{1} }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}} $ 1- { \( - 1 $ }^{n} \) - \frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}} $ { \( - 1 $ }^{n}- 1 \) }$

$3$\displaystyle{ =\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}} $ 1- { \( - 1 $ }^{n} \) }$

$3$\displaystyle{ =\left{{ \begin{array}0&n\text{が偶数のとき}& \vspace{6}\\ \displaystyle{\frac{\hspace{2}6\hspace{2}}{\hspace{2} n{\pi} \hspace{2}}} &n\text{が奇数のとき}& \vspace{6}\\ \end{array} }$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。

以上より　

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最終更新日： 2025年4月23日