複素数の計算

■問題

次の式を極形式で示せ．　

$3$\displaystyle{ 1- i }$

■答

$3$\displaystyle{ z=\sqrt{2} \{ \cos $ - 45^\circ $ +i\sin $ - 45^\circ $ \} }$

$3$\displaystyle{ z=\sqrt{2} \{ \cos $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ +i\sin $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \} }$ 　

■解答

問題を解く前に，極形式とは何かを理解する．　⇒複素平面

与式より

$3$\displaystyle{\left|{z}\right|=\sqrt{ {1}^{2}+{ \left({ - 1 }\right) }^{2} }=\sqrt{2}}$ 　

よって，与式より $3$\displaystyle{\sqrt{2}}$ をくくりだす．

$3$\displaystyle{1- i=\sqrt{2}\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}i }\right)}$ 　　･･････(1)

極形式 $3$\displaystyle{ z=r $ \cos {\theta}+i\sin {\theta} $ }$ と(1)を比較すると

$3$\displaystyle{\cos {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{ \sin {\theta}=- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}} }$

となる．よって

$3$\displaystyle{ {\theta}=- { 45 }^{^\circ }=- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} }$

となり，与式は極形式で次のように表わすことができる．

$3$\displaystyle{ z=\sqrt{2} \{ \cos $ - 45^\circ $ +i\sin $ - 45^\circ $ \} }$

$3$\displaystyle{ z=\sqrt{2} \{ \cos $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ +i\sin $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}} $ \} }$ 　

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最終更新日： 2023年2月25日