複素数の計算

■問題

この問題の解を利用して， $3$\displaystyle{ { $ 1+\sqrt{3}i $ }^{9} }$ を計算せよ．

■解

$3$\displaystyle{- 512}$

■解説

$3$\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i }$ の極形式はこの問題より

$3$\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i }$ $3$\displaystyle{= 2 $ \cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+i\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ }$

となる．

ド・モアブルの定理を用いると

$3$\displaystyle{ { $ 1+\sqrt{3}i $ }^{9}={ \{ 2 $ \cos \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+i\sin \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} $ \} }^{9} }$

$3$\displaystyle{ ={2}^{9}\left{{ \cos \left({ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\times 9 }\right)+i\sin \left({ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}\times 9 }\right) }\right} }$

$3$\displaystyle{ =512 $ \cos 3{\pi}+i\sin 3{\pi} $ }$

$3$\displaystyle{=512 $ - 1+0 $ =- 512}$

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最終更新日： 2023年2月25日