複素数の線対称移動

■問題

$3$\displaystyle{\alpha =3+i}$ ， $3$\displaystyle{{\beta}=1+2i}$ とする．複素平面において，点 $3$\displaystyle{{\beta}}$ を原点と点 $3$\alpha$ を通る直線に関して対称移動した点の複素数 $3$\displaystyle{{\gamma}}$ を求めよ．

■答

$3$\displaystyle{{\gamma}=2- i}$

■ヒント

定直線に関して対称（線対称），2直線のなす角を参考にする．

■解説

原点と点 $3$\alpha$ を通る直線と原点と点 $3${\beta}$ を通る直線のなす角 $3${\theta}$ ，ただし， $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ，を求め，点 $3${\beta}$ を原点を中心に $3$- 2{\theta}$ 回転させた点が点 $3${\gamma}$ になる．

$3$\displaystyle{{\theta}}$ を求める．

$3$\displaystyle{{\theta}=arg\left({ \frac{\hspace{2}{\beta}\hspace{2}}{\hspace{2}\alpha \hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=arg\left({ \frac{\hspace{2} 1+2i \hspace{2}}{\hspace{2} 3+i \hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=arg\left({ \frac{\hspace{2} \left({ 1+2i }\right)\left({ 3- i }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 3+i }\right)\left({ 3- i }\right) \hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=arg\left({ \frac{\hspace{2} 5+5i \hspace{2}}{\hspace{2} 10 \hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{=arg\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}i }\right)}$

よって

$3$\displaystyle{\tan {\theta}=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \text{ }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\text{ } \hspace{2}}=1}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$\displaystyle{{\theta}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}}$

となる．

$3$\displaystyle{{\gamma}={\beta}\left({ \cos \left({ - 2{\theta} }\right)+i\sin \left({ - 2{\theta} }\right) }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ 1+2i }\right)\left({ \cos \left({ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right)+i\sin \left({ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }\right) }\right)}$

$3$\displaystyle{=\left({ 1+2i }\right)\left({ - i }\right)}$

$3$\displaystyle{=- i+2}$

$3$\displaystyle{=2- i}$

●別解

定直線に関して対称（線対称）であることより

点 $3${\beta}$ と点 $3${\gamma}$ を結ぶ線分の中点が，原点と点 $3$\alpha$ を通る直線上にある．
$3$\displaystyle{arg\left({ \frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} {\beta}+{\gamma} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}\alpha \hspace{2}} }\right)=0}$ ･･････(1)
点 $3${\beta}$ と点 $3${\gamma}$ を通る直線と，原点と点 $3$\alpha$ を通る直線が垂直である．
$3$\displaystyle{arg\left({ \frac{\hspace{2} {\beta}- {\gamma} \hspace{2}}{\hspace{2}\alpha \hspace{2}} }\right)=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(2)

である．

(1)より， $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} {\beta}+{\gamma} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}\alpha \hspace{2}} }$ が実数になる． $3${\gamma}=x+yi$ とおくと

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} {\beta}+{\gamma} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} \left({ 1+2i }\right)+\left({ x+yi }\right) \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} 3+i \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left{{ \left({ 1+2i }\right)+\left({ x+yi }\right) }\right}\left({ 3- i }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} 2\left({ 3+i }\right)\left({ 3- i }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left{{ \left({ 1+x }\right)+\left({ 2+y }\right)i }\right}\left({ 3- i }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} 2\left({ 9+1 }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left{{ 3\left({ 1+x }\right)+\left({ 2+y }\right) }\right}+\left{{ - \left({ 1+x }\right)+3\left({ 2+y }\right) }\right}i \hspace{2}}{\hspace{2} 20 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 3x+y+5+\left{{ - x+3y+5 }\right}i \hspace{2}}{\hspace{2} 20 \hspace{2}}}$

よって

$3$\displaystyle{- x+3y+5=0}$ ･･････(3)

が得られる．

(2)より， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\beta}- {\gamma} \hspace{2}}{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}}$ が純虚数になる．

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} {\beta}- {\gamma} \hspace{2}}{\hspace{2}\alpha \hspace{2}}=\frac{\hspace{2} \left({ 1+2i }\right)- \left({ x+yi }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} 3+i \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left{{ \left({ 1+2i }\right)- \left({ x+yi }\right) }\right}\left({ 3- i }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ 3+i }\right)\left({ 3- i }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left{{ \left({ 1- x }\right)+\left({ 2- y }\right)i }\right}\left({ 3- i }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} 9+1 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left{{ 3\left({ 1- x }\right)+\left({ 2- y }\right) }\right}+\left{{ - \left({ 1- x }\right)+3\left({ 2- y }\right) }\right}i \hspace{2}}{\hspace{2} 9+1 \hspace{2}}}$