基本的な1次変換の問題

■問題

次の問に答えよ．

(1)点 $3$\displaystyle{ \text{P} $ x,y $ }$ を原点を中心に $3$\displaystyle{60^\circ }$ 回転させ点 $3$\displaystyle{\text{Q} $ u,v $ }$ に移す1次変換を表す行列 $3$\displaystyle{A}$ を求めよ．三角関数は計算すること．

(2) $3$\displaystyle{\text{Q} $ u,v $ }$ を $3$\displaystyle{y}$ 軸に関して対称な点 $3$\displaystyle{\text{R} $ r,s $に }$
MathMLのtextタグの中に日本語が含まれており、日本語が文字化けしています。今後直していきます。 移す.1次変換を表す行列 $3$\displaystyle{B}$ を求めよ．

(3)点 $3$\displaystyle{\text{P} $ x,y $ }$ を点 $3$\displaystyle{\text{R} $ r,s $ }$ に移す1次変換を表す行列 $3$\displaystyle{C}$ を求めよ．

■答

(1)
$3$\displaystyle{ $ \begin{array} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & - \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$
(2)
$3$\displaystyle{ $ \begin{array} - 1 &0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$
(3)
$3$\displaystyle{\left({ \begin{array} - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

■解き方

(1)

$3$\displaystyle{A= $ \begin{array} \cos 60^\circ & - \sin 60^\circ & \vspace{6}\\ \sin 60^\circ & \cos 60^\circ & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$ $3$\displaystyle{= $ \begin{array} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & - \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

参考：回転行列

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array}u& \vspace{6}\\ v& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & - \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ 　･･････(i)

(2)

$3$\displaystyle{r=- u=- 1\cdot u+0\cdot v}$

$3$\displaystyle{s=v=0\cdot u+1\cdot v}$

$3$\displaystyle{ \left({ \begin{array}r& \vspace{6}\\ s& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array} - u & \vspace{6}\\ v& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array} - 1\cdot u+0\cdot v & \vspace{6}\\ 0\cdot u+1\cdot v & \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ $3$\displaystyle{ =\left({ \begin{array} - 1 &0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}u& \vspace{6}\\ v& \vspace{6}\\ \end{array} }\right) }$ 　･･････(ii)

よって

$3$\displaystyle{B= $ \begin{array} - 1 &0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} $ }$

(3)

(i)，(ii)より

$3$\displaystyle{\left({ \begin{array}r& \vspace{6}\\ s& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array} - 1 &0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & - \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array}x& \vspace{6}\\ y& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

よって

$3$\displaystyle{C=BA}$ $3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} - 1 &0& \vspace{6}\\ 0&1& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)\left({ \begin{array} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & - \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$ $3$\displaystyle{=\left({ \begin{array} - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \frac{\hspace{2} \sqrt{3} \hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月25日