基本的な行列の問題

■問題

以下の行列の成分は実数とする．

$3$\displaystyle{ A=\left({\begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ ， $3$\displaystyle{ B=\left({\begin{array}e&f& \vspace{6}\\ g&h& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ とし， $3$\displaystyle{ X=AB }$ ， $3$\displaystyle{ Y=BA }$ ， $3$\displaystyle{ {X}^{2}=O }$ とする．

(1) $3$\displaystyle{X}$ と $3$\displaystyle{Y}$ はいずれも逆行列をもたないことを示せ．

(2) $3$\displaystyle{ {Y}^{2}=O }$ であることを示せ．

■ヒント

逆行列をもたないことを示すには，行列式の値がゼロであることを示せばよい(参考).

$3$\displaystyle{\left|{ AB }\right|=\left|{A}\right|\left|{B}\right|}$ の関係式も使える．

■解答

(1)

$3$\displaystyle{ {X}^{2}=O }$ より

$3$\displaystyle{\left|{ {X}^{2} }\right|=\left|{O}\right|}$

$3$\displaystyle{\left|{ XX }\right|=0}$

$3$\displaystyle{\left|{X}\right|\left|{X}\right|=0}$

$3$\displaystyle{{\left|{X}\right|}^{2}=0}$

よって

$3$\displaystyle{\left|{X}\right|=0}$ 　･･････(i)

また， $3$\displaystyle{Y=BA}$

$3$\displaystyle{\left|{Y}\right|=\left|{ BA }\right|=\left|{B}\right|\left|{A}\right|=\left|{A}\right|\left|{B}\right|}$ $3$\displaystyle{=\left|{ AB }\right|}$ $3$\displaystyle{=\left|{X}\right|}$ $3$\displaystyle{=0}$

すなわち

$3$\displaystyle{\left|{Y}\right|=0}$ 　･･････(ii)

(i)，(ii)から， $3$\displaystyle{X}$ と $3$\displaystyle{Y}$ はいずれも逆行列をもたない．

(2)

$3$\displaystyle{ X }$ $3$\displaystyle{ =AB }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\left({\begin{array}e&f& \vspace{6}\\ g&h& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ $3$\displaystyle{ }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array} ae+bg & af+bh & \vspace{6}\\ ce+dg & cf+dh & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

$3$\displaystyle{ Y }$ $3$\displaystyle{ =BA }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array}e&f& \vspace{6}\\ g&h& \vspace{6}\\ \end{array}}\right)\left({\begin{array}a&b& \vspace{6}\\ c&d& \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$ $3$\displaystyle{ }$ $3$\displaystyle{ =\left({\begin{array} ae+cf & be+df & \vspace{6}\\ ag+ch & bg+dh & \vspace{6}\\ \end{array}}\right) }$

2つの行列X，Yにケーリー・ハミルトンの定理を利用して，(1)の(i)，(ii)を用いると，次の等式が成り立つ．

$3$\displaystyle{{X}^{2}- \left({ ae+bg+cf+dh }\right)X}$ $3$\displaystyle{+\left{{ \left({ ae+bg }\right)\left({ cf+dh }\right)- \left({ af+bh }\right)\left({ ce+dg }\right) }\right}E=O}$

$3$\displaystyle{{X}^{2}- \left({ ae+bg+cf+dh }\right)X+\left|{X}\right|E=O}$

$3$\displaystyle{{X}^{2}- \left({ ae+bg+cf+dh }\right)X=O}$ 　･･････(iii)

$3$\displaystyle{{Y}^{2}- \left({ ae+cf+bg+dh }\right)Y}$ $3$\displaystyle{+\left{{ \left({ ae+cf }\right)\left({ bg+dh }\right)- \left({ be+df }\right)\left({ ag+ch }\right) }\right}E=O}$

$3$\displaystyle{{Y}^{2}- \left({ ae+cf+bg+dh }\right)Y+\left|{Y}\right|E=O}$

$3$\displaystyle{{Y}^{2}- \left({ ae+cf+bg+dh }\right)Y=O}$ 　･･････(iv)

$3$\displaystyle{{X}^{2}=O}$ と(iii)より

$3$\displaystyle{- \left({ ae+bg+cf+dh }\right)X=O}$

がえられる.この関係式より

$3$\displaystyle{ae+bg+cf+dh=0}$ あるいは $3$\displaystyle{X=O}$

となる．

$3$\displaystyle{ae+bg+cf+dh=0}$ の場合，(iv)より

$3$\displaystyle{{Y}^{2}=O}$

$3$\displaystyle{X=O}$ の場合

$3$\displaystyle{X=\left({ \begin{array} ae+bg & af+bh & \vspace{6}\\ ce+dg & cf+dh & \vspace{6}\\ \end{array} }\right)=\left({ \begin{array}0&0& \vspace{6}\\ 0&0& \vspace{6}\\ \end{array} }\right)}$

となり

$3$\displaystyle{ae+bg+cf+dh=0}$

が成り立つ．したがって

$3$\displaystyle{{Y}^{2}=O}$

となる．

以上より

$3$\displaystyle{{Y}^{2}=O}$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日