2次関数のグラフの原点対称に関する問題

■問題

2次関数 $3$\displaystyle{ y={ \left({ x- 2 }\right) }^{2}+1 }$ のグラフを原点に関して対称移動したグラフを表す関数を求めよ．

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■答

$3$\displaystyle{y=- {\left({ x+2 }\right)}^{2}- 1}$

■ヒント

関数 $3$\displaystyle{y=f\left({x}\right)}$ のグラフを原点に関して対称移動したグラフを表す関数は

$3$\displaystyle{- y=f\left({ - x }\right)}$

である．(グラフを原点に関して対称移動した関数を参照のこと)

■解説

関数 $3$\displaystyle{y=f\left({x}\right)}$ のグラフを原点に関して対称移動したグラフを表す関数は

$3$\displaystyle{- y=- f\left({ x }\right)}$ ･･････(1)

となる．よって， $3$\displaystyle{ y={ \left({ x- 2 }\right) }^{2}+1 }$ を

$3$\displaystyle{x\rightarrow - x}$ ， $3$\displaystyle{y\rightarrow - y}$ ･･････(2)

に書き換えて

$3$\displaystyle{- y={\left({ - x- 2 }\right)}^{2}+1}$

$3$\displaystyle{- y={\left{{ - \left({ x+2 }\right) }\right}}^{2}+1}$

$3$\displaystyle{y=- {\left({ x+2 }\right)}^{2}- 1}$ ･･････(3)

となる．これが求める関数である．

●基本に立ち返って解く方法

$3$\displaystyle{ y={ \left({ x- 2 }\right) }^{2}+1 }$ 上の点 $3$\text{P}$ を原点に関して対称移動したものを点 $3$\text{Q}$ とし，点 $3$\text{P}$ ， $3$\text{Q}$ の座標をそれぞれ $3$\displaystyle{ $ r,s $ }$ ， $3$ $ x,y $$ とする．点 $3$\text{Q}$ の $3$x$ 座標の値と $3$y$ 座標の値は点 $3$\text{P}$ の $3$x$ 座標の値 $3$r$ と $3$y$ 座標の値 $3$s$ にそれぞれ $3$\displaystyle{\displaystyle{- 1}}$ を掛けたものとなる．すなわち

$3$\displaystyle{\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}x=- r& \vspace{6}\\ y=- s& \vspace{6}\\ \end{array}\text{\hspace{5}}\rightarrow \text{\hspace{5}}\left({ x,y }\right)=\left({ - r,- s }\right)}}$ ･･････(4)

の関係がある．これは点 $3$\text{Q}$ を点 $3$\text{P}$ の座標の値を用いて表しているが，逆に点 $3$\text{P}$ の座標を，点 $3$\text{Q}$ の座標の値 $3$x$ ， $3$y$ を使って表すと

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}r=- x& \vspace{6}\\ s=- y& \vspace{6}\\ \end{array}\text{\hspace{5}}\rightarrow \text{\hspace{5}}\left({ r,s }\right)=\left({ - x,- y }\right)}$ ･･････(5)

となる．(5)は上記の(2)に対応する．

点 $3$\text{P}$ は $3$\displaystyle{ y={ \left({ x- 2 }\right) }^{2}+1 }$ 上の点であるので

$3$\displaystyle{s={\left({ r- 2 }\right)}^{2}+1}$ ･･････(6)

の関係がある．この(6)の $3$r$ と $3$s$ に(5)の関係を代入すると

$3$\displaystyle{- y={\left({ - x- 2 }\right)}^{2}+1}$ ･･････(7)

となる． $3$\displaystyle{y=}$ の形に式を変形して

$3$\displaystyle{y=- {\left({ x+2 }\right)}^{2}- 1}$ ･･････(8)

が得られる.(8)は $3$x$ と $3$y$ の関係を表している．すなわち，この(8)が $3$\displaystyle{ y={ \left({ x- 2 }\right) }^{2}+1 }$ のグラフを $3$x$ 軸に関して対称移動したグラフを表す関数である．

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最終更新日： 2025年4月18日