2次関数のグラフの式を求める問題

■問題

図は $3$x$ 切片が $3$1$ ， $3$3$ , $3$y$ 切片が $3$3$ の2次関数のグラフである．グラフを表す2次関数の式を求めよ．

$3$\displaystyle{y=\left({ x- 1 }\right)\left({ x- 3 }\right)}$

$3$x$ 切片が $3$1$ ， $3$3$ より，2次関数は一般的に

$3$\displaystyle{y=a\left({ x- 1 }\right)\left({ x- 3 }\right)}$ ･･････(1)

ただし， $3$a$ は定数

と表される．

$3$y$ 切片が $3$3$ より，(1)に $3$x=0$ ， $3$y=3$ を代入する．

$3$\displaystyle{3=a\left({ 0- 1 }\right)\left({ 0- 3 }\right)}$

$3$\displaystyle{3=3a}$

$3$\displaystyle{a=1}$ ･･････(2)

(1)に(2)を代入する．

$3$\displaystyle{y=\left({ x- 1 }\right)\left({ x- 3 }\right)}$ ･･････(3)

(3)が求める2次関数の式になる．

2次関数は一般的に

$3$\displaystyle{y=a{x}^{2}+bx+c}$ ･･････(4)

と表される．

$3$x$ 切片が $3$1$ ， $3$3$ , $3$y$ 切片が $3$3$ より

となるので，以下の連立方程式が成り立つ．

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}a+b+c=0& \vspace{6}\\ 9a+3b+c=0& \vspace{6}\\ c=3& \vspace{6}\\ \end{array}}$	･･････(5)
	･･････(6)
	･･････(7)

この連立方程式を解く

（5)，(6)に(7)を代入する．

$3$\displaystyle{a+b+3=0}$ ･･････(8)

$3$\displaystyle{\displaystyle{9a+3b+3=0}}$ ･･････(9)

(8)より

$3$\displaystyle{b=- a- 3}$ ･･････(10)

(10)を(9)に代入する．

$3$\displaystyle{9a+3\left({ - a- 3 }\right)+3=0}$

$3$\displaystyle{6a- 6=0}$

$3$\displaystyle{a=1}$ ･･････(11)

(11)を(10)に代入する．

$3$\displaystyle{1+b+3=0}$

$3$\displaystyle{b=- 4}$ ･･････(12)

(7)，(11)，(12)を(4)に代入する．

$3$\displaystyle{y={x}^{2}- 4x+3}$ ･･････(13)

(13)が求める2次関数である．(13)を因数分解すると(3)になる．

最終更新日： 2025年4月18日