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2次関数のグラフの式を求める問題

■問題

グラフが3点 $3$\left({ 5,2 }\right)$ ， $3$\left({ 2,- 1 }\right)$ ， $3$\left({ - 1,14 }\right)$ を通る2次関数の式を求め，グラフをかけ．

■解説動画

◆関連動画のページへ

■答

$3$ y={x}^{2}- 6x+7$

平方完成した形では以下のようになる．

$3$\displaystyle{y={\left({ x- 3 }\right)}^{2}- 2}$

■ヒント

2次関数の定義，2次関数のグラフ $3$y={x}^{2}$ ， 2次関数のグラフ $3$\displaystyle{y=a{ \( x- p \) }^{2}+q}$ のページを参考にする．

■解説

2次関数の式の一般系は

$3$\displaystyle{y=a{x}^{2}+bx+c}$ ･･････(1)

ただし， $3$a$ ， $3$b$ ， $3$c$ は定数

である．

(1)の2次関数のグラフが3点 $3$\left({ 5,2 }\right)$ ， $3$\left({ 2,- 1 }\right)$ ， $3$\left({ - 1,14 }\right)$ を通ることより

$3$\displaystyle{\left{{\begin{array}{lll}2=25a+5b+c\text{ }\cdots \cdots \(2\)& \vspace{6}\\ - 1=4a+2b+c\text{ }\cdots \cdots \(3\)& \vspace{6}\\ 14=a- b+c\text{ }\cdots \cdots \(4\)& \vspace{6}\\ \end{array}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

の連立方程式が成り立つ．この連立方程式から $3$a$ ， $3$b$ ， $3$c$ を求める．

(3)-(2)より

$3$\displaystyle{3=21a+3b}$ ･･････(5)

(3)-(4)より

$3$- 15=3a+3b$ ･･････(6)

が得られる．さらに，(5)-(6)より

$3$\displaystyle{18=18a}$

$3$a=1$ ･･････(7)

が得られる．

(7)を(6)に代入する．

$3$\displaystyle{- 15=3\cdot 1+3b}$

$3$b=- 6$ ･･････(8)

(7)，8)を(4)に代入する．

$3$14=1- \left({ - 6 }\right)+c$

$3$c=7$ ･･････(9)

となる．

(7)、(8)，(9)を(1)に代入すると求める2次関数の式

$3$ y={x}^{2}- 6x+7$ ･･････(10)

が得られる．

●グラフ

(2)の2次関数のグラフをかくには(10)を平方完成をし，グラフの頂点を求める．

$3$\displaystyle{y={x}^{2}- 6x+7}$

$3$\displaystyle{={x}^{2}- 2\cdot 3x+{3}^{2}- {3}^{2}+7}$

$3$\displaystyle{={\left({ x- 3 }\right)}^{2}- 2}$ ･･････(10)

よって，頂点は

$3$\left({ 3,- 2 }\right)$

となる．

$3$y$ 切片を求める．(10)の $3$x$ に $3$0$ を代入する．

$3$\displaystyle{y={0}^{2}- 6\cdot 0+7=7}$

より， $3$y$ 切片は $3$7$ である．

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最終更新日： 2025年4月18日