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1次不等式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{ax> 2x+5}$ （ $3$a$ は定数）　･･････(1)

の解を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$a> 2$ の場合

$3$\displaystyle{x> \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} a- 2 \hspace{2}}}$

$3$a< 2$ の場合

$3$\displaystyle{x< \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} a- 2 \hspace{2}}}$

$3$a=2$ の場合

解なし

となる．

■解説

(1)の両辺から $3$2x$ を減じる(不等式の性質1)ことにより，(1)の右辺の $3$2x$ を左辺に移項する．

$3$ax- 2x> 2x+5- 2x$

$3$ax- 2x> 5$ ･･････(2)

移項できたので，左辺を $3$x$ でくくり出し，残りを（）の中に入れる．

$3$x\left({ a- 2 }\right)> 5$ ･･････(3)

I． $3$a- 2> 0$ ，すなわち， $3$a> 2$ の場会

(3)の両辺を $3$a- 2$ で割る． $3$a- 2$ は正の値なので不等号の向きは変わらない．（不等式の性質4）.

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x\left({ a- 2 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} a- 2 \hspace{2}}> \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} a- 2 \hspace{2}}}$ ･･････(4)

(4)の左辺を約分する．

$3$\displaystyle{x> \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} a- 2 \hspace{2}}}$

II． $3$a- 2< 0$ ，すなわち， $3$a< 2$ の場会

(3)の両辺を $3$a- 2$ で割る． $3$a- 2$ は負の値なので不等号の向きが変わる．（不等式の性質7）.

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} x\left({ a- 2 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} a- 2 \hspace{2}}< \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} a- 2 \hspace{2}}}$ ･･････(5)

(4)の左辺を約分する．

$3$\displaystyle{x< \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} a- 2 \hspace{2}}}$

III． $3$\displaystyle{a- 2=0}$ ，すなわち， $3$a=2$ の場会

この場合，(3)は

$3$x\cdot 0> 5$ ･･････(6)

となる．

(6)の左辺の値は $3$0$ ，右辺の値は $3$5$ となり，(6)を満たす $3$x$ は存在しない．よって，解なし．

以上をまとめると

$3$a> 2$ の場合

$3$\displaystyle{x> \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} a- 2 \hspace{2}}}$

$3$a< 2$ の場合

$3$\displaystyle{x< \frac{\hspace{2}5\hspace{2}}{\hspace{2} a- 2 \hspace{2}}}$

$3$a=2$ の場合

解なし

となる．

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最終更新日： 2025年4月18日