2次不等式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{ 2{x}^{2}- 9x+4> 0 }$ ･･････(1)

の解を求めよ．

$3$x> 4$ ， $3$\displaystyle{x< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

(1)の左辺を因数分解すると

$3$\displaystyle{\left({ 2x- 1 }\right)\left({ x- 4 }\right)> 0}$ ･･････(2)

となる． $3$2{x}^{2}- 9x+4$ の因数分解についてはこのページを参照する．詳しく解説をしている．

(2)の不等式が成り立つのは

$3$2x- 1> 0$ ，かつ， $3$x- 4> 0$ の場合　･･････(I)

あるいは

$3$2x- 1< 0$ ，かつ， $3$x- 4< 0$ の場合　･･････(II)

である．

（I)より

$3$\displaystyle{x> \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ，かつ， $3$x> 4$

図で示すと

すなわち

$3$x> 4$ ･･････(3)

となる．

（II)より

$3$\displaystyle{x< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ，かつ， $3$x< 4$

図で示すと

すなわち

$3$\displaystyle{x< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ･･････(4)

となる．

以上，(3)と(4)より，(1)の不等式の解は

$3$x> 4$ ， $3$\displaystyle{x< \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．

$3$y=2{x}^{2}- 9x+4$ $3$=\left({ 2x- 1 }\right)\left({ x- 4 }\right)$ ･･････(5)

とおき，(1)の解と(5)のグラフの関係を確認すと，(1)を満たす部分は，グラフの $3$x$ 軸より上の部分になり，容易に解の範囲を理解することができる．

最終更新日： 2025年4月29日