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2次不等式に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{- {x}^{2}+x+72> 0}$ ･･････(1)

の解を求めよ．

■解説動画

◆関連動画のページへ

■答

$3$- 8< x< 9$

■解説

(1)の2次不等式の $3$ {x}^{2}$ の係数が負である． 2次不等式を解く場合， $3$ {x}^{2}$ の係数が正になるように式を変形すると， $3$ {x}^{2}$ の係数が正場合と同様に解くことができる．よって，(1)の不等式の両辺に $3$- 1$ を掛ける．このとき不等号の向きが変わることに注意する（不等号の性質5）．

$3${x}^{2}- x- 72< 0$ ･･････(2)

(2)の左辺を因数分解すると

$3$\left({ x+8 }\right)\left({ x- 9 }\right)< 0$ ･･････(3)

となる． $3${x}^{2}- x- 72$ の因数分解についてはこのページを参照する．詳しく解説をしている．

(3)の不等式が成り立つのは

$3$x+8> 0$ ，かつ， $3$x- 9< 0$ の場合　･･････(I)

あるいは

$3$x+8< 0$ ，かつ， $3$x- 9> 0$ の場合　･･････(II)

である．

（I)より

$3$x> - 8$ ，かつ， $3$x< 9$

図で示すと

すなわち

$3$- 8< x< 9$ ･･････(3)

となる．

（II)より

$3$x< - 8$ ，かつ， $3$x> 9$

図で示すと

すなわち

解なし　･･････(4)

となる．

以上，(3)と(4)より，(1)の不等式の解は

$3$- 8< x< 9$

となる．

●グラフを用いた確認

$3$y=- {x}^{2}+x+72$ $3$=- \left({ x+8 }\right)\left({ x- 9 }\right)$ ･･････(5)

とおき，(1)の解と(5)グラフの関係を確認すと，(1)を満たす部分は，グラフの $3$x$ 軸より上の部分になり，容易に解の範囲を理解するができる．

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最終更新日： 2025年4月27日