極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \tan x- \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{3} \hspace{2}} }$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

■ヒント

三角関数の極限では $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$ を利用できるように式変形すると極限が求まる場合が多い．

$3$\displaystyle{\tan x=\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}}$ より，関係式を利用できるように式変形すると

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \tan x- \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{3} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}- \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{3} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}- 1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{3} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ ={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x\left({ \frac{\hspace{2} 1- \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}} }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{3} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\left({ \frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2} 1- \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} }\right)}$

となり，上記の関係式を含む式となった．

■解き方

$3$\displaystyle{x\rightarrow 0}$ のとき， $3$\displaystyle{\tan x- \sin x\rightarrow 0}$ ， $3$\displaystyle{{x}^{3}\rightarrow 0}$ となり， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}0\hspace{2}}}$ の不定形となる．

$3$\displaystyle{\tan x=\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}}$ より， $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$ を利用できるように式変形すると

$3$\displaystyle{ =\left({ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }\right)\left({ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}} }\right)\left({ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} 1- \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} }\right) }$ （∵ここを参照）

となる．

左の極限式はヒントの関係式より

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$

真ん中の極限式は

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos x \hspace{2}}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \cos 0 \hspace{2}}=1}$

右の極限式において， $3$\displaystyle{x\rightarrow 0}$ のとき， $3$\displaystyle{1- \cos x\rightarrow 0}$ ， $3$\displaystyle{{x}^{2}\rightarrow 0}$ となり， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}0\hspace{2}}}$ の不定形となる．

分母，分子に $3$\displaystyle{ 1+\cos x }$ を掛けて $3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}=1}$ を利用できるように式変形し，上記と同様にして極限値を求めると

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} 1- \cos x \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \left({ 1- \cos x }\right)\left({ 1+\cos x }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2}\left({ 1+\cos x }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\left({ \frac{\hspace{2} { \sin }^{2}x \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}}\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+\cos x \hspace{2}} }\right)}$

$3$\displaystyle{={\left({ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sin x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} }\right)}^{2}\left({ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+\cos x \hspace{2}} }\right)}$ （∵ここを参照）

$3$\displaystyle{=1\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．

したがって求める極限値は

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \tan x- \sin x \hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{3} \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=1\cdot 1\cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

となる．

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最終更新日2026年6月10日