極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

$3$\displaystyle{ { \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sqrt{ x+9 }- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+4 }- 2 \hspace{2}} }$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

■ヒント

$3$\displaystyle{ x\rightarrow 0 }$ のとき，分子 $3$\displaystyle{ \rightarrow 0 }$ ，分母 $3$\displaystyle{ \rightarrow 0 }$ となり， $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}0\hspace{2}}}$ の不定形となる．

$3$\displaystyle{ x\rightarrow 0 }$ のとき，分子 $3$\displaystyle{ \rightarrow 0 }$ ，分母 $3$\displaystyle{ \rightarrow 0 }$ となり，分母，分子の式には因数 $3$\displaystyle{x}$ が含まれる（因数定理を参照）．

しかし，分子と分母には $3$\displaystyle{x}$ が現れていない．分母の $3$\displaystyle{ \sqrt{ x+4 }- 2 }$ ，分子の $3$\displaystyle{ \sqrt{ x+9 }- 3 }$ は以下のように式変形できる．

$3$\displaystyle{\sqrt{ x+4 }- 2}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left({ \sqrt{ x+4 }- 2 }\right)\left({ \sqrt{ x+4 }+2 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+4 }+2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} x+4- 4 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+4 }+2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} x \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+4 }+2 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{\sqrt{ x+9 }- 3}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} \left({ \sqrt{ x+9 }- 3 }\right)\left({ \sqrt{ x+9 }+3 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+9 }+3 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} x+9- 9 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+9 }+3 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+9 }+3 \hspace{2}}}$

■解き方

そこで共通因数 $3$\displaystyle{x}$ を出現させるために，分子と分母に $3$\displaystyle{ \left({ \sqrt{ x+9 }+3 }\right)\left({ \sqrt{ x+4 }+2 }\right) }$ を掛けると

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sqrt{ x+9 }- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+4 }- 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \left({ \sqrt{ x+9 }- 3 }\right)\left({ \sqrt{ x+9 }+3 }\right)\left({ \sqrt{ x+4 }+2 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \left({ \sqrt{ x+4 }- 2 }\right)\left({ \sqrt{ x+9 }+3 }\right)\left({ \sqrt{ x+4 }+2 }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} x\left({ \sqrt{ x+4 }+2 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} x\left({ \sqrt{ x+9 }+3 }\right) \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sqrt{ x+4 }+2 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+9 }+3 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} 2+2 \hspace{2}}{\hspace{2} 3+3 \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

となる．

よって求める極限値は

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

となる．

●別解

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}0\hspace{2}}{\hspace{2}0\hspace{2}}}$ のような不定形となるとき，ロピタルの定理を用いると極限が求まる場合が多い．

定理より求める極限値は分子，分母をそれぞれ別々に $3$\displaystyle{x}$ で微分した極限値に等しい．

したがって，以下に示す式が成り立つ．

$3$\displaystyle{{ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sqrt{ x+9 }- 3 \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+4 }- 2 \hspace{2}}}$ $3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} { \left({ \sqrt{ x+9 }- 3 }\right) }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { \left({ \sqrt{ x+4 }- 2 }\right) }^{\prime } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{{\left({ \sqrt{ x+9 }- 3 }\right)}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{ x+9 } \hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{{\left({ \sqrt{ x+4 }- 2 }\right)}^{\prime }=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{ x+4 } \hspace{2}}}$ より

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{ x+9 } \hspace{2}} \hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 2\sqrt{ x+4 } \hspace{2}} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{={ \lim }\limits_{ x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \sqrt{ x+4 } \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ x+9 } \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}2\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

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最終更新日： 2026年6月11日