極限の計算問題 lim[x→0]｛√(x+1)-1}/x
■問題
次の極限を求めよ．
■答
■ヒント
のとき，分子
，分母
となり，
の不定形となる．
のとき，分子
，分母
となり，分母，分子の式には因数
が含まれる（因数定理を参照）．
分母には
が現れているが，分子には
が現れていない．よって，分母，分子に
を掛けて分子の有理化を試みるとよい．
参考までに
を以下のように式変形すると，
%5cleft({%20%5csqrt{%20x+1%20%20}+1%20%20}%5cright)%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20%5csqrt{%20x+1%20%20}+1%20%20%5chspace{2}}})
-%201%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20%5csqrt{%20x+1%20%20}+1%20%20%5chspace{2}}})
と式変形でき，
を式変形すると因数
が含まれる式となる．
関数の極限値の性質も参考にする．
■解き方
のとき，分子
，分母
となり，
の不定形となる．
分母，分子に
を掛けて有理化すると
%5cleft({%20%5csqrt{%20x+1%20%20}+1%20%20}%5cright)%20%20%5chspace{2}}{%5chspace{2}%20x%5cleft({%20%5csqrt{%20x+1%20%20}+1%20%20}%5cright)%20%20%5chspace{2}}})
%20%20%5chspace{2}}})
約分をする．
となる．
よって求める極限値は
となる．
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最終更新日：
2026年6月9日