ラプラス変換に関する問題

■問題

$3$\displaystyle{f $t$ =t\cos $ {\omega}t $ }$ を，裏関数の微分を用いて，ラプラス変換すると $3$\displaystyle{L \{ t\cos $ {\omega}t $ \} =\frac{\hspace{2} {s}^{2}- {{\omega}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {s}^{2}+{{\omega}}^{2} $ }^{2} \hspace{2}}}$ となることを示せ．

■答

線形性より，

$3$\displaystyle{L \{ - tf $t$ \} }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} dF $s$ \hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{L \{ tf $t$ \} }$ $3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} dF $s$ \hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}}}$

である

また

$3$\displaystyle{L \{ f $t$ \} =F $s$ =L \{ \cos $ {\omega}t $ \} }$ $3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2}s\hspace{2}}{\hspace{2} {s}^{2}+{{\omega}}^{2} \hspace{2}}}$ 　（ここを参照）

であるから

$3$\displaystyle{L \{ t\cos $ {\omega}t $ \} =L \{ tf $t$ \} =- \frac{\hspace{2} dF $s$ \hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} ds \hspace{2}} $ \frac{\hspace{2}s\hspace{2}}{\hspace{2} {s}^{2}+{{\omega}}^{2} \hspace{2}} $ }$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} { $s$ }^{\prime } $ {s}^{2}+{{\omega}}^{2} $ - s{ $ {s}^{2}+{{\omega}}^{2} $ }^{\prime } \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {s}^{2}+{{\omega}}^{2} $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} 1\cdot $ {s}^{2}+{{\omega}}^{2} $ - s\cdot 2s \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {s}^{2}+{{\omega}}^{2} $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2} {s}^{2}+{{\omega}}^{2}- 2{s}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {s}^{2}+{{\omega}}^{2} $ }^{2} \hspace{2}}}$

$3$\displaystyle{=\frac{\hspace{2} {s}^{2}- {{\omega}}^{2} \hspace{2}}{\hspace{2} { $ {s}^{2}+{{\omega}}^{2} $ }^{2} \hspace{2}}}$

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　最終更新日： 2023年6月6日