べき級数に展開する問題

■問題

$3$\displaystyle{ { \tan }^{ - 1 }x }$

■ヒント

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{ \tan }^{ - 1 }x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{x}^{2} \hspace{2}} }$ 　 ⇒ここを参照

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{x}^{2} \hspace{2}}=1- {x}^{2}+{x}^{4}- {x}^{6}+{x}^{8}+\cdots }$ ⇒ここを参照

の関係を利用する．

■答

$3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}d\hspace{2}}{\hspace{2} dx \hspace{2}}{ \tan }^{ - 1 }x=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} 1+{x}^{2} \hspace{2}} }$

$3$\displaystyle{ =1- {x}^{2}+{x}^{4}- {x}^{6}+{x}^{ { }^{8} }+\cdots }$

両辺を積分する

$3$\displaystyle{ {\tan }^{ - 1 }x }$ $3$\displaystyle{ =C+ x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{x}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}{x}^{7}+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}{x}^{9}+ \cdots }$

ただし， $3$\displaystyle{C}$ は積分定数

$3$\displaystyle{ { \tan }^{ - 1 }0=0 }$

より

$3$\displaystyle{ C=0 }$

となる．

よって

$3$\displaystyle{ {\tan }^{ - 1 }x }$ $3$\displaystyle{ =x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}{x}^{3}+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}5\hspace{2}}{x}^{5}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}7\hspace{2}}{x}^{7}+ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}9\hspace{2}}{x}^{9}+ \cdots }$

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最終更新日： 2022年6月5日