三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， $3$\displaystyle{ 0\leq {\theta}< 2{\pi} }$ とする．

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$

■答

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi},\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

■ヒント

$3$\sin {\theta}=c$ の解き方

■解説

単位円においての値は $3$\displaystyle{y}$ 座標に相当する(ここを参照)．

まず，右図のように単位円を描く．このとき，原点を $3$\displaystyle{\text{O}}$ とする．

$3$\displaystyle{\sin {\theta}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ より， $3$\displaystyle{x}$ 軸と平行な直線である $3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ を描く．

描いた直線と単位円との交点を $3$\displaystyle{\text{P}}$ ， $3$\displaystyle{\text{Q}}$ とし，原点 $3$\displaystyle{\text{O}}$ と直線で結ぶ．

$3$\displaystyle{\text{P}}$ ， $3$\displaystyle{\text{Q}}$ から $3$\displaystyle{x}$ 軸に垂線を下ろし，それぞれの足を $3$\displaystyle{\text{R}}$ ， $3$\displaystyle{\text{S}}$ とし，直角三角形 $3$\displaystyle{\text{OPR}}$ ，三角形 $3$\displaystyle{\text{OQS}}$ の内角を求める．

直角三角形 $3$\displaystyle{\text{OPR}}$ において， $3$\displaystyle{\text{OP}=1}$ ， $3$\displaystyle{\text{PR}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{2} \hspace{2}}}$ より，基本的な三角形と照らし合わせると

$3$\displaystyle{\angle \text{POR}=\hspace{1}{{\theta}}_{1}=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

となる．

直角三角形 $3$\displaystyle{\text{OPR}}$ $3$\displaystyle{\equiv }$ 直角三角形 $3$\displaystyle{\text{OQS}}$

より

$3$\displaystyle{\angle \text{QOS=}\angle \text{POR=}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

よって， $3$\displaystyle{ \hspace{1}{{\theta}}_{1} }$ を算出すと

$3$\displaystyle{\hspace{1}{{\theta}}_{2}={\pi}- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}=\frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}4\hspace{2}}{\pi}}$

となる．

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年2月12日

三角関数の方程式に関する問題

■問 題

■答

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■解説

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